麦森数_P1142

题目

https://www.luogu.org/problemnew/show/P1045

题解

转自https://www.luogu.org/blog/28916/solution-p1045
这道题可以分为两个模块，第一个模块为求的位数，第二个模块为求的后500位（不足补零）。我们主要来解决第一个模块：

一、求位数

首先我们知道 2^p-1 与 2^p 有着相同的位数，因为2的次方满足了最后一位不为零的要求，所以减一后位数并不会改变，那么我们可以直接求 2^p 的位数。那么怎么求位数呢？我们不妨设 k=2^p ，根据 10ⁿ 的位数为 n+1，我们只要想办法把 k=2^p 中的底数2改为10，指数加一就是位数了。由此想到用10的几次方来代替2，那么就不难想到 10^log10（2） ，这样便可以把 k=2^p 中的2代换掉，变为 k=（10^log10（2）） ^p 。根据乘方的原理，将p乘进去，原式便可化为我们最终想要的形式 k=10^{log10（2）*p} 了，所以位数就是 $log10（2）*p +1$（提醒一下，C++中cmath库自带log10（）函数…）

二、求最后500位数

这个绝对难不倒大家，裸的高精快速幂，经过NOIP2017初赛的RP++后，相信很多人都已经会了快速幂了，所以我在这里不再赘述，只是提供一种相对较为简便的高精乘法

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define up(i,a,b) for (register int i=a;i<=b;++i)
#define down(i,a,b) for (register int i=a;i>=b;--i)
using namespace std;
const int maxn=1001;
inline int read()
{
	int f=1,num=0;
	char ch=getchar();
	while (!isdigit(ch)) { if (ch=='-') f=-1; ch=getchar(); }
	while (isdigit(ch)) num=(num<<1)+(num<<3)+(ch^48), ch=getchar();
	return num*f;
}
int f[maxn],res[maxn],sav[maxn];//乘法要开两倍长度
inline void result1()
{
	memset(sav,0,sizeof(sav));
	up(i,1,500)
		up(j,1,500)
			sav[i+j-1]+=res[i]*f[j];//先计算每一位上的值（不进位）
	up(i,1,500)
	{
		sav[i+1]+=sav[i]/10;//单独处理进位问题，不容易出错
		sav[i]%=10;
	}
	memcpy(res,sav,sizeof(res));//cstring库里的赋值函数，把sav的值赋给res
}
inline void result2()
{
	memset(sav,0,sizeof(sav));
	up(i,1,500)
		up(j,1,500)
			sav[i+j-1]+=f[i]*f[j];
	up(i,1,500)
	{
		sav[i+1]+=sav[i]/10;
		sav[i]%=10;
	}
	memcpy(f,sav,sizeof(f));
}
int main()
{
	int p=read();
	printf("%d\n",(int)(log10(2)*p+1));
	res[1]=1;
	f[1]=2;//高精度赋初值
	while (p)//快速幂模板
	{
		if (p&1)
			result1();
		p>>=1;
		result2();	
	}
	res[1]-=1;
	down(i,500,1)//注意输出格式，50个换一行，第一个不用
		if (i!=500 && i%50==0)
			printf("\n%d",res[i]);
		else
			printf("%d",res[i]);
	return 0;
}