DP法求满减优惠组合问题
一、原问题描述
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描述
最近天气炎热，小Ho天天宅在家里叫外卖。他常吃的一家餐馆一共有N道菜品，价格分别是A1, A2, … AN元。并且如果消费总计满X元，还能享受优惠。小Ho是一个不薅羊毛不舒服斯基的人，他希望选择若干道不同的菜品，使得总价在不低于X元的同时尽量低。
你能算出这一餐小Ho最少消费多少元吗？
输入
第一行包含两个整数N和X，(1 <= N <= 20, 1 <= X <= 100)
第二行包含N个整数A1, A2, …， AN。(1 <= Ai <= 100)
输出
输出最少的消费。如果小Ho把N道菜都买了还不能达到X元的优惠标准，输出-1。
样例输入
10 50
9 9 9 9 9 9 9 9 9 8
样例输出
53
二、算法参考链接与分析
1、求最少消费的值算法
促销中“满X优惠”问题的两种解法：动态规划和枚举法
枚举法： 瓶颈在于 for(int s=1; s<(1<<n); s++)中，由于是2^n指数级复杂度，而int整型最大值2的32次方，即n的值理论上不超过32，即便是long型，n最大不超过64。
动态规划法：只能求解最少消费的值，但是没有求解具体相关组合情况
本文算法参考链接
缺陷：（1）算法存在bug，dp[j]=dp[j-a[i]]的前提是dp[j]==0，否则会出现dp[j]=1后，在后面的循环中可能被置0。即该组合情况存在，但后面又被否决。（2）算法求解最少消费的值，没有具体相关组合情况
2、求具体组合情况
基本上没有合适的方法专门求具体组合，接近的有以下几个：
硬币组合问题 ------ 只是组合的数量，而不是具体情况。
分硬币问题(贪心) ------ 求最少商品的数量，而不是最优的情况，即局部最优，非全局最优。
三、本文算法
1、数组a[]是商品价格，求解所有商品所有可能的和的情况，并保存在数组dp[sum+1]中，sum为所有商品总价之和，数组下标对应某一组合的和，值为0，即该下标的值不是任一组合的总和。数组b[]保存第一次出现这种结果时，该组合的最后一个商品。最终得到最少消费的值ans。
for( i=0;i<n;i++){
for( j=sum;j>=a[i];j--){
if(dp[j]==0) dp[j]=dp[j-a[i]];
if(dp[j]==1&&b[j]==-1) b[j]=i;
} }
for(int k=X;k<=sum;k++){
if(dp[k]==1){
printf("%d\n",k);
ans = k;
break;
} }
2、 利用数组dp[]保存了所有可能的组合情况的和，数组b[]保存了第一次出现相应组合的和，最后一个商品的位置。给定最少消费的值，逆推相应的组合，保存在数组c[]中。例如商品数量为10，最优组合用到第1，3，5，7，9个商品，则c[]={1,0,1,0,1,0,1,0,1,0}。
注意：组合不一定一种，本文只求出最先出现该结果的组合，不保证商品数量最少。
for( i = b[ans], j = ans; i>=0; )
{
if(j>a[i]){
if(dp[j-a[i]]==0) { i--; continue;}
else if(dp[j-a[i]]==1)
{
c[i]=1;
ans=ans-a[i];
i=b[ans];
continue;
}
}
else if(j<a[i]&&j>0) { i--; continue;}
else if(j==a[i]) {
c[i]=1;
break;
}
}
3、算法优点
（1）与枚举法相比，瓶颈提高。瓶颈在于商品价值总和sum值最大为2的32次方，而不是数量最大为32。
（2）速度：求最少消费值的复杂度是商品数量乘以商品总价值，即n*sum；
求具体组合情况的复杂度是商品数量n。实际上求最少消费值的过程中已经潜在求出相应组合，而且求出商品数量往往远低于商品价值，求具体组合情况的时间消耗可以忽略。