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文章目录
1.二叉堆的定义(最大堆)
2.二叉堆的存储
3.操作
3.1 插入元素(shift up)
插入前:
插入后:
3.2 取出元素(shift down)
取出前:
调整后:
4.堆的实现
template<typename Item>
class MaxHeap{
private:
Item *data;
int count;
int capacity;
void shiftUp(int k){
while( k > 1 && data[k/2] < data[k] ){
swap( data[k/2], data[k] );
k /= 2;
}
}
void shiftDown(int k){
while( 2*k <= count ){
int j = 2*k; // 在此轮循环中,data[k]和data[j]交换位置
if( j+1 <= count && data[j+1] > data[j] )
j ++;
// data[j] 是 data[2*k]和data[2*k+1]中的最大值
if( data[k] >= data[j] ) break;
swap( data[k] , data[j] );
k = j;
}
}
public:
// 构造函数, 构造一个空堆, 可容纳capacity个元素
MaxHeap(int capacity){
data = new Item[capacity+1];
count = 0;
this->capacity = capacity;
}
// 构造函数, 通过一个给定数组创建一个最大堆
// 该构造堆的过程, 时间复杂度为O(n)
MaxHeap(Item arr[], int n){
data = new Item[n+1];
capacity = n;
for( int i = 0 ; i < n ; i ++ )
data[i+1] = arr[i];
count = n;
for( int i = count/2 ; i >= 1 ; i -- )
shiftDown(i);
}
~MaxHeap(){
delete[] data;
}
// 返回堆中的元素个数
int size(){
return count;
}
// 返回一个布尔值, 表示堆中是否为空
bool isEmpty(){
return count == 0;
}
// 像最大堆中插入一个新的元素 item
void insert(Item item){
assert( count + 1 <= capacity );
data[count+1] = item;
shiftUp(count+1);
count ++;
}
// 从最大堆中取出堆顶元素, 即堆中所存储的最大数据
Item extractMax(){
assert( count > 0 );
Item ret = data[1];
swap( data[1] , data[count] );
count --;
shiftDown(1);
return ret;
}
// 获取最大堆中的堆顶元素
Item getMax(){
assert( count > 0 );
return data[1];
}
};
5.堆排序
// heapSort1, 将所有的元素依次添加到堆中, 在将所有元素从堆中依次取出来, 即完成了排序
// 时间复杂度均为O(nlogn)
template<typename T>
void heapSort1(T arr[], int n){
MaxHeap<T> maxheap = MaxHeap<T>(n);
for( int i = 0 ; i < n ; i ++ )
maxheap.insert(arr[i]);
for( int i = n-1 ; i >= 0 ; i-- )
arr[i] = maxheap.extractMax();
}
优化1(heapify)
依据:因为可以把叶子节点看作是已经满足二叉堆
// heapSort2, 借助我们的heapify过程创建堆
// 时间复杂度为O(nlogn),比上述heapSort1性能更优, 因为创建堆的性能更优
template<typename T>
void heapSort2(T arr[], int n){
MaxHeap<T> maxheap = MaxHeap<T>(arr,n);
for( int i = n-1 ; i >= 0 ; i-- )
arr[i] = maxheap.extractMax();
}
优化2(原地堆排序)
// 原始的shiftDown过程
template<typename T>
void __shiftDown1(T arr[], int n, int k){
while( 2*k+1 < n ){
int j = 2*k+1;
if( j+1 < n && arr[j+1] > arr[j] )
j += 1;
if( arr[k] >= arr[j] )break;
swap( arr[k] , arr[j] );
k = j;
}
}
// 优化的shiftDown过程, 使用赋值的方式取代不断的swap,
// 该优化思想和我们之前对插入排序进行优化的思路是一致的
template<typename T>
void __shiftDown(T arr[], int n, int k){
T e = arr[k];
while( 2*k+1 < n ){
int j = 2*k+1;
if( j+1 < n && arr[j+1] > arr[j] )
j += 1;
if( e >= arr[j] ) break;
arr[k] = arr[j];
k = j;
}
arr[k] = e;
}
// 不使用一个额外的最大堆, 直接在原数组上进行原地的堆排序
template<typename T>
void heapSort(T arr[], int n){
// 注意,此时我们的堆是从0开始索引的
// 从(最后一个元素的索引-1)/2开始
// 最后一个元素的索引 = n-1
for( int i = (n-1-1)/2 ; i >= 0 ; i -- )
__shiftDown2(arr, n, i);
for( int i = n-1; i > 0 ; i-- ){
swap( arr[0] , arr[i] );
__shiftDown(arr, i, 0);
}
}