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题意:求
同余
。
翻了一下各 oj 这题的榜,无一例外都是
的 NTT 做法,挺奇怪的……
现在来正经推一下式子:
大部分人的推导在这里就结束了,因为这个式子可以卷积。但是其实这个式子还可以不卷积进行计算。这个东西的要点就是我们要看清楚形如 的形式是什么。设数列 的母函数是 ,那么这个和式其实就是带入了 。
反观我们的式子中, , 。
因此,我们得到的 项的系数就由
分子可以用组合数化开,然后除以一个一次式,是可以递推的。
至于把所有的 算出来为什么没有快速幂的 ,那是因为 关于 是完全积性函数,合数的 是可以被筛出来的,这样这部分复杂度就是 。
代码:
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <functional>
#include <vector>
#define LOG(FMT...) fprintf(stderr, FMT)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int P = 998244353;
void exGcd(int a, int b, int& x, int& y) {
if (!b) {
x = 1;
y = 0;
return;
}
exGcd(b, a % b, y, x);
y -= a / b * x;
}
int inv(int a) {
int x, y;
exGcd(a, P, x, y);
if (x < 0)
x += P;
return x;
}
int mpow(int x, int k) {
int ret = 1;
while (k) {
if (k & 1)
ret = ret * (ll)x % P;
x = x * (ll)x % P;
k >>= 1;
}
return ret;
}
struct Simple {
int n;
vector<int> fac, ifac, inv;
void build(int n) {
this->n = n;
fac.resize(n + 1);
ifac.resize(n + 1);
inv.resize(n + 1);
fac[0] = 1;
for (int x = 1; x <= n; ++x)
fac[x] = fac[x - 1] * (ll)x % P;
inv[1] = 1;
for (int x = 2; x <= n; ++x)
inv[x] = -(P / x) * (ll)inv[P % x] % P + P;
ifac[0] = 1;
for (int x = 1; x <= n; ++x)
ifac[x] = ifac[x - 1] * (ll)inv[x] % P;
}
Simple() {
build(1);
}
void check(int k) {
int nn = n;
if (k > nn) {
while (k > nn)
nn <<= 1;
build(nn);
}
}
int gfac(int k) {
check(k);
return fac[k];
}
int gifac(int k) {
check(k);
return ifac[k];
}
int ginv(int k) {
check(k);
return inv[k];
}
int binom(int n, int m) {
if (m < 0 || m > n)
return 0;
return gfac(n) * (ll)gifac(m) % P * gifac(n - m) % P;
}
} simp;
const int N = 100010, PC = 30010;
int n;
int pc;
int a[N];
bool vis[N];
int p[PC];
int pw[N];
void sieve() {
pw[1] = 1;
for (int x = 2; x <= n; ++x) {
if (!vis[x]) {
p[++pc] = x;
pw[x] = mpow(x, n + 1);
}
for (int i = 1; x * p[i] <= n; ++i) {
vis[x * p[i]] = true;
pw[x * p[i]] = pw[x] * (ll)pw[p[i]] % P;
if (x % p[i] == 0)
break;
}
}
}
int main() {
scanf("%d", &n);
simp.check(n + 1);
for (int i = 0; i <= n; ++i)
a[i] = ((n + 1 - i) & 1) ? (P - simp.binom(n + 1, i)) : simp.binom(n + 1, i);
int pw = mpow(2, n + 1);
for (int i = 0; i <= n; ++i)
a[i] = a[i] * (ll)pw % P;
--a[0];
for (int i = 0; i <= n; ++i)
a[i] = (P - a[i]) % P;
int q = inv(3) * 2 % P;
for (int i = 1; i <= n; ++i)
a[i] = (a[i - 1] * (ll)q + a[i]) % P;
int ans = (a[0] + a[1] * (ll)(n + 1)) % P;
sieve();
for (int i = 2; i <= n; ++i)
ans = (ans + simp.ginv(i - 1) * (::pw[i] - 1LL) % P * a[i]) % P;
if (ans < 0)
ans += P;
ans = ans * (ll)inv(3) % P;
printf("%d\n", ans);
return 0;
}