推导柱坐标下的拉梅方程,其实就用到一点坐标变换就可以了。
笛卡尔坐标系下的拉梅方程为:
(λ+2μ)∇(∇⋅u)−μ∇∇u+F=0
笛卡尔坐标到柱坐标的转换为:
x1=x=rcosθ,x2=y=rsinθ,x3=z=z
对应的相关分量为:
u=(ur,uθ,uz),e=(eij),τ=(τij)i,j=r,θ,z
对应的算符运算法则为:
∇f=∂f∂rr⃗ +1r∂f∂θθ⃗ +∂f∂zz⃗
∇⋅u=1r∂(rur)∂r+1r∂uθ∂θ+∂uz∂z
curl(u)=(1r∂uz∂θ−∂uθ∂z)r⃗ +(∂ur∂z−∂uz∂r)θ⃗ +(1r∂(ruθ)∂r−1r∂ur∂θ)z⃗
笛卡尔坐标下的本构关系为:
τij=λδij∇⋅u+2μeij
那么对应的柱坐标下的应力应变关系为:
τrr=λ∇⋅u+2μ∂ur∂r
τθθ=λ∇⋅u+2μ(1r∂uθ∂θ+urr)
τzz=λ∇u+2μ∂uz∂z
τrθμ=τθrμ=∂uθ∂r−uθr+1r∂ur∂θ
τrzμ=τzrμ=∂uz∂r+∂ur∂z
τθzμ=τzθμ=1r∂uz∂θ+∂uθ∂z
而位移和应变的关系为:
err=∂ur∂r,eθθ=1r∂uθ∂θ+urr,ezz=∂uz∂z
2erθ=2eθr=∂uθ∂r−∂uθr+1r∂ur∂θ
2erz=2ezr=∂ur∂z+∂uz∂r
2ezθ=2eθz=1r∂uz∂θ+∂uθ∂z
对应的应力平衡方程就可以写为:
∂τrr∂r+1r∂τrθ∂θ+∂τrz∂z+τrr−τθθr+Fr=0
∂τrθ∂r+1r∂τθθ∂θ+∂τθz∂z+2rτrθ+Fθ=0
∂τrz∂r+1r∂τθz∂θ+∂τzz∂z+τrzr+Fz=0