sympy库  2019/2/13

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1.前言
1.1.参考文档
      https://docs.sympy.org/latest/modules/solvers/inequalities.html
1.2.特点
      可作为高级计算器进行交互式使用,完全用Python编写,速度似乎与Maxima相当
      Mathematica和Maple速度更快；C ++版本SymEngine是SymPy的一个子集(开发中)
1.2.安装
      pip install sympy# 安装sympy库
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2.准备知识
 
2.1.数据类型
# SymPy用类表示整数Integer,有理数Rational和浮点数Float,而不是默认的Python int和float 类型
x = Symbol("x", integer=True);x.is_integer      #True  对应Python int
x = Symbol("x", real=True);x.is_real                #True 对应Python float
x = Symbol("x", complex=True);x.is_complex  #True 对应Python complex
 
x = Integer(2);x.is_Integer        #True 对应SymPy int
x=Float(10);x.is_Float              #True对应SymPy float
x=Rational(1,2);x.is_Rational    #True对应SymPy 有理数
 
2.2创建符号：
x, y, z = symbols('x y z')                     # 等效symbols('x,y,z')或symbols('x:z')

x0,x1,x2=symbols('x0:3',Integer=True) # 创建x0,x1,x2三个整数 [complex=True,real=True]

x = sympy.Symbol('x', real=True)        # 仅指定单个符号,数据类型为实数

x0,x1,x2=symbols('x0:2')                     # 等效symbols('x:3')创建x0, x1, x2

x, y, z = symbols('x y z', cls=Dummy)    # 推广符号到类Dummy(任何带str参数的类)

f, g, h = symbols('f,g,h', cls=Function)    # 定义函数的符号f、g、h
 

# 临时符号
Symbol("x") == Symbol("x")    # True
Dummy("x") == Dummy("x")    # False
 
# 常用的sympy内置符号
sympy.I ** 2                     # -1 #虚数单位i
ln(E)                                # 1  #E 自然对数的底e
1 + sympy.oo                   # oo #无穷大oo
sympy.sin(sympy.pi/2)      # 1   #圆周率pi
 
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2.3.符号表达式
      6.2            # 只含数字表达式默认Python表达式6.2000000000000002
      S(6.2)        # SymPy表达式                 6.20000000000000
      x**(1/2)             # x**0.5
      x**(S(1)/2)         # sqrt(x)
      x**Rational(1, 2) # sqrt(x)
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2.3.1符号表达式数据类型
 
1）有理数
  x = Symbol('x')              #7*x=22
  a = solve(7*x - 22, x)       # [22/7] 返回list
  a[0],type(a[0])             # 22/7  sympy.core.numbers.Rational
  S("22/7")                    # 22/7

# 执行数字/表达式或表达式/数字,则该数字将自动转换为SymPy数字
  2/x                             # 分数表达式
 

2）用Floats和Rationals评估表达式
 
（1）创建
    # 字符串和整数被解释为精确
     Float(10)                  #10.000000000000#SymPy默认精度为15位数
     Float(10.0)               #10.000000000000#SymPy默认精度为15位数
     Float('10.0')             #10.000000000000#SymPy默认精度为15位数
     Float(Rational(10,1)) #10.000000000000
 
（2）指定精度
   Float(12.34, 4)                 # 12.34
   Float(1234, '') ,Float('12.34', '')   # 1234  12.34#空str可用于精度仅用于整数和字符串
   1/7,Float(Rational(1,7)),Float(Rational(1,7),3)#0.14285714285714285  0.142857142857143  0.143
   Float(Rational(1,7)).n(20)                # 0.14285714285714284921
 
   Float('0.1', 10) + Float('0.1', 3) #0.2000061035 只有4位精度
   Float('0.1', 10) + Float('0.1', 10)#0.2000000000
 
（3）提高运行精度
   v = 12345678901234567890
   expr = v*cos(x)**2 + v*sin(x)**2 - v*1 #sin(x)^2+cos(x)^2=1
   abs(expr.subs(x, .1).n(2)) > 1000      #True 结果本应为0但由于精度问题造成误差
   # 默认cos 和 sin 为15位精度并乘以大数 ,当减去20位大数时,结果不为零。
 
  获得更精确的表达式数值：
  a)通过要评估的调用传递所需的替换
     expr.n(2, {x: 0.1})                #-0.e-91
  b)用Rational                          # Rational可计算任意精度,Float 默认15位数
     expr.subs(x, S('1/10')).n(2)  #0.e-91
  c)尝试简化表达式
     expr.simplify()                    #0 SymPy将识别trig标识并将其简化为零
 
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2.3.2表达式的不变性
# SymPy中的表达式是不可变的,并且不能通过就地操作进行修改。
# 这意味着函数将始终返回一个对象,并且不会修改原始表达式
 def main():
    var('x y a b')
    expr = 3*x + 4*y
    print('original =', expr)            #original = 3*x + 4*y
    expr_modified = expr.subs({x: a, y: b})#subs()不修改原始表达式expr而是返回表达式修改副本
    print('modified =', expr_modified)       #modified = 3*a + 4*b
  
if __name__ == "__main__":
    main()
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2.4数学运算符
SymPy使用与Python相同的默认运算符。

其中大多数 */+-都是标准的 log()幂用**exp()；^异或计算 Ture ^False#True    
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2.5返回值类型
     
solve(x**2 + 2*x - 1, x)       # 返回列表 [-1 + sqrt(2), -sqrt(2) - 1]
roots((x - 5)**2*(x + 3), x)    # 返回dicts  {-3: 1, 5: 2}
integrate(x**2, (x, 0, 1))      # 1/3 #integ会将序列（列表或元祖）作为第二个参数
     
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2.6关键字参数
      
x = Symbol('x')；sqrt(x**2)               #不会自动简化为x,默认x是复杂 sqrt(x**2)
x = Symbol('x', positive=True)；sqrt(x**2)  #x
      
x,y,m,n=symbols('x y m n')
powsimp(x**n*x**m*y**n*y**m, combine='all')   #默认combine='all'格式：结合或指数
powsimp(x**n*x**m*y**n*y**m, combine='exp')  #格式：指数
powsimp(x**n*x**m*y**n*y**m, combine='base') #格式：结合
'''
      m + n        m + n  m + n          m         n
(x*y)             x     *    y            (x*y)   * (x*y)
 '''
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2.7获取表达式符号
 from sympy.abc import x, y, z
 e = x + y*sin(z**2)
 e.atoms()            # set([2, x, y, z])
 e.atoms(Symbol)      # set([x, y, z])
      
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2.8不改变输入内容

x+2/4                 #x + 0.5  0.5作为Python表达式
x+Rational(2,4)         #x+1/2    全部作为Symbol表达式

 from sympy import Mul, Pow, Rational#设置evaluate=False
 Mul(2, Rational(1, 4), evaluate=False)  # 2 / 4
 Pow(x * y, 2, evaluate=False)         # (x * y) ** 2
     
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备注1：创建符号：
# 推荐方法7.编写更多永久代码时应避免1-6使用
# 1.x = Symbol('x')。
# 2.x, y, z = map(Symbol, 'xyz')# 不能放入空间,不能多字符
# 3.var('x y z')  # 用 inspect.currentframe注入符号不能保证始终有效。
# 在某些嵌套作用域中或在CPython中表现不如预期
# 4.from sympy.abc import x, y, z
# 5.x = S('x')                             # or sympify('x')
# 6.isympy -a                            # 仅用交互式
 

建议您不要使用I,E,S,N,C,O,Q为变量或符号名称：
# 用助记符OSINEQ来记住SymPy中默认定义的符号或用小写字母
# I虚数单位,E自然对数的基数(e),S, N() 相当于evalf(),C,O大O阶符号(如)O(nlogn)),

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备注2：帮助help()
help(powsimp)  ;powsimp?
source()打印函数的源代码也可以function??：
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