通常,正整数 n
的阶乘是所有小于或等于 n
的正整数的乘积。例如,factorial(10) = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
。
相反,我们设计了一个笨阶乘 clumsy
:在整数的递减序列中,我们以一个固定顺序的操作符序列来依次替换原有的乘法操作符:乘法(*),除法(/),加法(+)和减法(-)。
例如,clumsy(10) = 10 * 9 / 8 + 7 - 6 * 5 / 4 + 3 - 2 * 1
。然而,这些运算仍然使用通常的算术运算顺序:我们在任何加、减步骤之前执行所有的乘法和除法步骤,并且按从左到右处理乘法和除法步骤。
另外,我们使用的除法是地板除法(floor division),所以 10 * 9 / 8
等于 11
。这保证结果是一个整数。
实现上面定义的笨函数:给定一个整数 N
,它返回 N
的笨阶乘。
示例 1:
输入:4
输出:7
解释:7 = 4 * 3 / 2 + 1
示例 2:
输入:10
输出:12
解释:12 = 10 * 9 / 8 + 7 - 6 * 5 / 4 + 3 - 2 * 1
提示:
1 <= N <= 10000
-2^31 <= answer <= 2^31 - 1
(答案保证符合 32 位整数。)
解题思路
这个问题非常简单,我首先想到的是通过栈。但是这里就有一个问题,我们知道我们需要先算乘除再算加减,所以我这里采用的策略是先将乘除算出来,然后算加减。
我们可以通过变量d
记录我们当前需要什么样的计算(通过模4
)。如果是乘法的话,我们首先将栈顶元素弹出,然后将遍历的数和栈顶元素想成,结果压入栈中。如果是除法,采用相同处理手段。如果是加减的话,我们直接压栈。
最后我们再遍历栈,进行加和减交替的运算。
class Solution:
def clumsy(self, N: int) -> int:
res, d = 0, 0
stack = list()
for i in range(N, 0, -1):
if stack:
if d % 4 == 0:
val = stack.pop()
stack.append(val*i)
elif d % 4 == 1:
val = stack.pop()
stack.append(val//i)
elif d % 4 == 2:
stack.append(i)
elif d % 4 == 3:
stack.append(i)
d += 1
else:
stack.append(i)
if stack:
res = stack[0]
for i, val in enumerate(stack[1:]):
if i & 1 == 0:
res += val
else:
res -= val
return res
一个精妙的数学解法,我们可以证明这样的一个式子
-
,当
i>=5
的时候
证明如下
- ,所以 ,所以
所以我们的问题就变成了
而rest
只会是下面四种
5-(4*3/2)+1
6-(5*4/3)+2-1
7-(6*5/4)+3-2*1
8-(7*6/5)+4-3*2/1
class Solution:
def clumsy(self, N: int) -> int:
if N <= 2:
return N
if N <= 4:
return N + 3
if (N - 4) % 4 == 0:
return N + 1
elif (N - 4) % 4 <= 2:
return N + 2
else:
return N - 1
使用python
的话,我们有一个语法上的trick
class Solution:
def clumsy(self, N: int) -> int:
op = itertools.cycle("*/+-")
return eval("".join(str(x) + next(op) for x in range(N, 0, -1))[:-1])
reference:
https://leetcode.com/problems/clumsy-factorial/discuss/252250/Python-Cheat
我将该问题的其他语言版本添加到了我的GitHub Leetcode
如有问题,希望大家指出!!!