欧几里得辗转相除法¹

最大公因数的定义略,先 来看上一篇文章中提到的"abbr"定理的推论.
$设 a,b为不全为0的整数,则\\ (a,b)=(a+bq,b)=(a,b+aq).$
在公式形式上,有 $qb+a="a"$, $a='r'$, $b='b'$,也就是说形式上跟abbr没有什么区别.

接下来说一下欧几里得辗转相除的用途和方法.
用途:求两个不全为0整数的最大公因数
原理,就是上面的abbr定理的变种.最核心的就是由已知的 $a+bq$构造a和b.
就像这样:(注:下面的余数r都是严格区间内的余数)
Assign $r_0=a$, $r_1=b$,
$r_0=r_1q_1+r_2 \\ r_1=r_2q_2+r_3\\...\ ...\\ r_{n-2}=r_{n-1}q_{n-1}+r_n\\ r_{n-1}=r_nq_n+0$
用语言解释,就是说不断做a/b的带余除法,除得的商做下一个被除数,余数做下一个除数.又因为余数的严格区间的,所以一定小于商,所以下一次的余数一定不会等于被除数.
那是不是所有的a,b组合都能经过有限步除到最后余数=0呢?答案是所有的都可以.证明如下:
${proof} \\\because \ \forall i\ in \ the\ process\\ 总有r_{i+1} <r_i\\ 又r_i\in \mathbb{z}\\ r_i是有限的.\\ \therefore \ \exists \ r_i=0.$
那为什么是 $r_n$是最小公因数呢?
${proof} \\(a,b)=(r_0,r_1)\\ (r_0,r_1)=(r_1,r_2)\\ (r_1,r_2)=(r_2,r_3)\\ ...\\ ...=(r_{n-2},r_{n-1})\\ \ =(r_{n-1},r_n)\\ 又r_n|r_{n-1}\\ (r_{n-1},r_n)=r_n\\$
那么,根据上面的计算过程,可以得出以下结论:
$(1)(a,b)=r_n\\ (2)\exists s,t\in \mathbb{z}\rightarrow r_n=sa+tb\\ (3)\forall c\in \mathbb{z},\ if\ c|a\ and\ c|b,\rightarrow\ c|r_n.$
第一个已经证明了,第三个也很好想.
接下来我们关注于第二条性质:
为什么存在?
如何求得?
注:这条定理也叫裴蜀定理(等式)²

由最后一个式子 $r_{n-2}=r_{n-1}q_{n-1}+r_n$,有
$r_n=r_{n-2}-r_{n-1}q_{n-1}$
再对 $r_{n-1}$进行形式拆分,有 $r_{n-1}=r_{n-3}-r_{n-2}q_{n-2}$
再对 $r_{n-2}$进行形式拆分,有 $r_{n-2}=r_{n-4}-r_{n-3}q_{n-3}$
…
直到 $r_2=r_0-r_1q_1$
又上述全部过程的参数都是整数
所以存在整数s,t,使得…

所以产生了如下的迭代方法:
$S_0=0\\ S_1=1\\ S_{i+1}=S_{i-1}-q_{n-i}S_i\\ 迭代所得的S_{n-1},S_n\\满足S_{n-1}a+S_nb=r_n$
比如对于(30111,4520)
有表格:

是怎么求得每一个的 $s_i$的呢?
由递推公式, $S_i=S_{i-2}-S_{i-1}q_{n-i}$,于是在表格上进行如下操作:

$S_0=0,S_1=1\\ S_2=S_0-(S_1*2)\\ S_3=S_1-(S_2*1)\\ ...\ ...$
这就很清楚了.所以在做这种题的时候要把表格列出来.
几点注意事项:

1. i从0到n-1;
2. q从 $q_0$开始从右至左;
3. $S_i$从左到右算;

Here it is.
这玩意用计算机计算更有意思,得空写一个放上来.