蓝桥杯 ALGO-26 算法训练 麦森数
问题描述
形如2P-1的素数称为麦森数,这时P一定也是个素数。但反过来不一定,即如果P是个素数,2P-1不一定也是素数。到1998年底,人们已找到了37个麦森数。最大的一个是P=3021377,它有909526位。麦森数有许多重要应用,它与完全数密切相关。
任务:从文件中输入P(1000<P<3100000),计算2P-1的位数和最后500位数字(用十进制高精度数表示)
输入格式
文件中只包含一个整数P(1000<P<3100000)
输出格式
第一行:十进制高精度数2P-1的位数。
第2-11行:十进制高精度数2P-1的最后500位数字。(每行输出50位,共输出10行,不足500位时高位补0)
不必验证2P-1与P是否为素数。
样例输入
1279
样例输出
386
00000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000104079321946643990819252403273640855
38615262247266704805319112350403608059673360298012
23944173232418484242161395428100779138356624832346
49081399066056773207629241295093892203457731833496
61583550472959420547689811211693677147548478866962
50138443826029173234888531116082853841658502825560
46662248318909188018470682222031405210266984354887
32958028878050869736186900714720710555703168729087
这一题有几个考点,快速幂,输出位数,输出最后500位。
1.快速幂的步骤:
1)划分相乘范围:
string func(int p) { //处理p位之前的结果 快速幂
if (p == 1) {
return "2";
}
if (p % 2 == 1) {
return mul(func(p - 1) , "2");
} else {
string s = func(p / 2);
return mul(s, s);
}
}
2)字符串模拟计算(需要注意输出时I = 0是最高位,相乘计算的时候,i = 0是最低位)
string mul(string s1, string s2) { //模拟字符串乘法
string ans;
if (s1.length() > 510) {
s1 = s1.substr(s1.length() - 510);
}
if (s2.length() > 510) {
s2 = s2.substr(s2.length() - 510);
}
reverse(s1.begin(), s1.end());
reverse(s2.begin(), s2.end());
vector<int > a(s1.length() + s2.length(), 0);
for (int i = 0; i < s1.length(); i++) {
for (int j = 0; j < s2.length(); j++) {
int tem = (s1[i] - '0') * (s2[j] - '0') + a[i + j];
a[i + j] = tem % 10; //模拟加法
a[i + j + 1] += tem / 10; //模拟进位
}
}
int index = int(a.size()) - 1;
while (a[index] == '0') {
index--;
}
ans.resize(index + 1, '0');
for (int i = index; i >= 0; i--) {
ans[i] = a[index - i] + '0'; //i = 0 为最高位
}
return ans;
}
2.输出位数
用log10(num) + 1可以输出num的位数。
#include<cmath>
int num = (int)(p*log10(2)) + 1; //位数
3.输出最后500,不足补0
string front(500, '0');
ans = front + ans;
ans = ans.substr(ans.length() - 500);
代码如下
#include<iostream>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<string>
using namespace std;
string mul(string s1, string s2) { //模拟字符串乘法
string ans;
if (s1.length() > 510) {
s1 = s1.substr(s1.length() - 510);
}
if (s2.length() > 510) {
s2 = s2.substr(s2.length() - 510);
}
reverse(s1.begin(), s1.end());
reverse(s2.begin(), s2.end());
vector<int > a(s1.length() + s2.length(), 0);
for (int i = 0; i < s1.length(); i++) {
for (int j = 0; j < s2.length(); j++) {
int tem = (s1[i] - '0') * (s2[j] - '0') + a[i + j];
a[i + j] = tem % 10; //模拟加法
a[i + j + 1] += tem / 10; //模拟进位
}
}
int index = int(a.size()) - 1;
while (a[index] == '0') {
index--;
}
ans.resize(index + 1, '0');
for (int i = index; i >= 0; i--) {
ans[i] = a[index - i] + '0'; //i = 0 为最高位
}
return ans;
}
string func(int p) { //处理p位之前的结果 快速幂
if (p == 1) {
return "2";
}
if (p % 2 == 1) {
return mul(func(p - 1) , "2");
} else {
string s = func(p / 2);
return mul(s, s);
}
}
string minu(string s, int index) {
if(s[index] == 0) {
s[index] = '9';
return minu(s, index - 1);
} else {
s[index] = s[index] - 1;
return s;
}
}
int main () {
int p;
cin >> p;
string ans = func(p);
ans = minu(ans, int(ans.length() - 1));
cout << (int)(p*log10(2)) + 1 << endl;
string front(500, '0');
ans = front + ans;
ans = ans.substr(ans.length() - 500);
for (int i = 0; i < 500; i++) {
cout << ans[i];
if ((i + 1) % 50 == 0) {
cout << endl;
}
}
return 0;
}