地宫取宝

• X 国王有一个地宫宝库。是 n x m 个格子的矩阵。每个格子放一件宝贝。每个宝贝贴着价值标签。

• 地宫的入口在左上角，出口在右下角。

• 小明被带到地宫的入口，国王要求他只能向右或向下行走。

• 走过某个格子时，如果那个格子中的宝贝价值比小明手中任意宝贝价值都大，小明就可以拿起它（当然，也可以不拿）。

• 当小明走到出口时，如果他手中的宝贝恰好是k件，则这些宝贝就可以送给小明。

• 请你帮小明算一算，在给定的局面下，他有多少种不同的行动方案能获得这k件宝贝。

• 【数据格式】

• 输入一行3个整数，用空格分开：n m k (1<=n,m<=50, 1<=k<=12)

• 接下来有 n 行数据，每行有 m 个整数 Ci (0<=Ci<=12)代表这个格子上的宝物的价值

• 要求输出一个整数，表示正好取k个宝贝的行动方案数。该数字可能很大，输出它对 1000000007 取模的结果。

例如，输入：
2 2 2
1 2
2 1
程序应该输出：
2

再例如，输入：
2 3 2
1 2 3
2 1 5
程序应该输出：
14

资源约定：
峰值内存消耗（含虚拟机） < 256M
CPU消耗  < 2000ms

思路:

1. 递归的逻辑是: 如果当前格子的宝藏的值比手头上宝贝的最大值大, 就可以取走, 并且可以向右或向下走.
2. 所以如果可以拿走宝贝, 就有4种情况; 如果不可以拿走宝贝就只有两种情况.见代码
3. 如果只是这样写的话, 样本量大的时候会超时, 因为最多要连续走100个格子, 每个格子算2种选择, 2的100次方是很可怕的.
4. 当以相同状态走过同一个格子的时候, 比如说x=2,y=2,max=4,cur=2, 如果之前经历过这样的状况, 就可以直接返回之前的结果了, 这里可以用一个数组进行记忆.

踩坑:

1. 开始时, 我没有初始化记忆数组, 数组的每个格子都是0, 最后没有节省时间, 因为很多格子上记录的就是0, 只有0种取法.
2. 没有留意题目种对结果取余的告诫, 只在最后return res之前取余数. 最终有3个测试用例过不了, 因为每次递归的结果都有可能超过1000000007, 最后才进行取余在样本量极大的情况下是会出错的.

public class Main {
	
	public static int n;
	public static int m;
	public static int k;
	public static int[][][][] dp = new int[50][50][15][15];//用于记忆搜索
	public static int[][] arr = new int[50][50];
	
	public static void main(String[] args) {
		//处理输入
		Scanner sc = new Scanner(System.in);
		n = sc.nextInt();
		m = sc.nextInt();
		k = sc.nextInt();
		for(int i = 0; i < n; i++){
			for(int j = 0; j < m; j++){
				arr[i][j] = sc.nextInt();
			}
		}
		initDp();//初始化记忆数组,不能用java初始的0值,因为很多格子只有0种可能, 会造成重复搜索. 
		System.out.println(process(arr, 0, 0, -1, 0));//宝藏的最小值为0, 所以初始的max值为-1
	}
	
	public static int process(int[][] arr, int x, int y, int max, int cur){
		if(dp[x][y][max + 1][cur] != -1){//max初始为-1,为防止越界填入max+1
			return dp[x][y][max + 1][cur];
		}
		if(x >= n || y >= m || cur > k){
			return 0;
		}
		int value = arr[x][y];
		if(x == n - 1 && y == m - 1){
			if(cur == k || (value > max && cur == k - 1)){
				return 1;
			}
			return 0;
		}
		int res = 0;
		if(value > max){//如果宝藏大于当前手上的最大值, 就可以拿走.
			res += process(arr, x, y + 1, value, cur + 1);//每次递归完对结果取模, 否则数据量大的时候会出错.
			res %= 1000000007;
			res += process(arr, x + 1, y, value, cur + 1);
			res %= 1000000007;
		}
		//不拿走
		res += process(arr, x, y + 1, max, cur);
		res %= 1000000007;
		res += process(arr, x + 1, y, max, cur);
		res %= 1000000007;
		
		dp[x][y][max + 1][cur] = res;
		return res;
	}
	
	public static void initDp(){
		for(int i = 0; i < 50; i++){
			for(int j = 0; j < 50; j++){
				for(int k = 0; k < 15; k++){
					for(int l = 0; l < 15; l++){
						dp[i][j][k][l] = -1;
					}
				}
			}
		}
	}
}