欧拉函数Euler(n):求[2,n]中有多少个数与n互素
直接利用公式:φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn)
其中:
- pi为x的素因数
- 每个素因数只用一次
- 比如90=2 * 3^2 * 5
- φ(90) = 90 * (1-1/2) * (1-1/3) * (1-1/5)
- 比如90=2 * 3^2 * 5
int Euler(int n) {
int ans = n;
for(int i = 2; i * i <= n; ++i) { //注1
if(n % i == 0) {
ans = ans - ans/i; //x(1-1/p1)的变形
while(n % i == 0) n /= i; //注2
}
}
if(n != 1) ans = ans - ans/i; //注3
return n;
}
注1:众所周知,判断因数时不用超过根号n,这跟判断素数的算法是类似的
注2:前面说到了,每个素因数只有一次,但是有的素因数许多很多次幂,比如100=2^2*5^2,此时需要把素因数除尽。
其实,代码的实现原理不是像我们手动计算时,先找出所有的素因数然后代入公式。而是“步步蚕食”,有点类似于φ(90)=φ(2) * φ(45) = φ(9) * φ(5) = 6 * 4 = 24,即先把素因数2消掉,然后把素因数3消掉,最后把素因数5消掉。
注3:因为注1的限制,所以我们有的时候会遇到这样的情况,明明还有素因数没有被消掉,就已经跳出了循环,比如90,当我们消掉3之后,n变成了5,此时就会跳出for循环。所以我们才需要注3,来消掉素因数5。