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线性方程组的求解是线性代数中的基本技能,而齐次线性方程组的基础解系的求法又是基础。本文给出一个计算齐次线性方程组的基础解系的公式,从而简化计算过程。
符号说明
- n元线性方程组的矩阵形式:(1)齐次线性方程组
Ax=0;(2)非齐次线性方程组
Ax=b;
- 系数矩阵:
A;
- 增广矩阵:
(Ab);
- 高斯消元法将系数矩阵化为最简形式:
A→(Er0F0)
公式及用法
由行最简形
(Er0F0),得到齐次方程组的解矩阵为
(−FEn−r)
例1 求解齐次线性方程组
Ax=0的基础解系,其中
A=⎝⎛112123112347⎠⎞
解:高斯消元法:
A=⎝⎛112123112347⎠⎞→…此处省略50字
→⎝⎛100010100210⎠⎞
此处,
F=(1021),所以由上述解矩阵公式可得,
⎝⎜⎜⎛−1010−2−101⎠⎟⎟⎞,
所以这个齐次方程组的基础解系为
⎝⎜⎜⎛−1010⎠⎟⎟⎞和
⎝⎜⎜⎛−2−101⎠⎟⎟⎞.