题目
HDU 2604 Queuing
题意: 给你一个数\(L\)代表一个队的长度,男女不限,随便排,\(f\)代表女生,\(m\)代表男生,但是其中不能出现\(fmf\),\(fff\) 这种子序列,问一共有多少种排的方法,结果需要\(mod m\).
解析:
构思巧妙的一道矩阵快速幂
我们设\(f[i]\)表示有\(i\)个人时有多少种方案。
我们考虑第\(n\)个位置
- 假设第\(n\)位为\(m\),那前\(n-1\)位是什么都行,有\(f[n-1]\)种方案。
- 假设第\(n\)位为\(f\),就有两种情况
- 第\(n-1\)位为\(m\),那\(n-2\)位上一定要为\(m\),第\(n-3\)位上就是随便选了,有\(f[n-3]\)种方案
- 第\(n-1\)位为\(f\),那\(n-2\)位一定要为\(m\),且第\(n-3\)位上也要为\(m\),那第\(n-4\)位就随便选了,有\(f[n-4]\)
综上所述,\(f[n]=f[n-1]+f[n-3]+f[n-4]\)
然后考虑矩阵加速
\[\begin{bmatrix} 1&0&1&1\\ 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ \end{bmatrix}^{n-4}\begin{bmatrix}f_4\\f_3\\f_2\\f_1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}f_n\\f_{n-1}\\f_{n-2}\\f_{n-3} \end{bmatrix}\]
然后套矩阵快速幂就完了
代码
//矩阵快速幂
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N = 10;
int n, mod;
int f[N] = {0, 2, 4, 6, 9};
class matrix {
public :
int a[N][N];
matrix() {
memset(a, 0, sizeof (a));
}
void initialize() {
memset(a, 0, sizeof(a));
a[1][1] = a[1][3] = a[1][4] = a[2][1] = a[3][2] = a[4][3] = 1;
}
matrix operator * (const matrix & oth) const {
matrix ret;
for (int i = 1; i <= 4; ++i)
for (int j = 1; j <= 4; ++j)
for (int k = 1; k <= 4; ++k)
ret.a[i][j] = (ret.a[i][j] % mod + (this->a[i][k] * oth.a[k][j]) % mod) % mod;
return ret;
}
} init;
matrix qpow(matrix a, int b) {
matrix ans = init;
while (b) {
if (b & 1) ans = ans * a;
b >>= 1, a = a * a;
}
return ans;
}
signed main() {
while (scanf("%lld%lld", &n, &mod) != EOF) {
if (n <= 4) {
printf("%d", f[n] % mod);
continue;
}
init.initialize();
init = qpow(init, n - 5);
int ans = 0;
for (int i = 1; i <= 4; ++i)
ans += init.a[1][i] * f[4 - i + 1] % mod;
printf("%lld\n", ans % mod);
}
return 0;
}