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Perfect Hashing VS. Bloom Filter

在Network Applications of Bloom Filters: A Survey一文中，作者提到了一种基于Perfect hashing的方法，它在维持同样错误率的情况下比Bloom Filter占用更少的空间。但是这种方法只能使用在静态集合上，一旦集合发生变化，就需要进行重新计算。

假设我们要表示的静态集合X有n个元素，我们针对它可以找到一个perfect hash function，记作hx : [1…u] → [1…n]。所谓perfect hash function，即它针对不同的key能产生不同的hash value，也就是说没有collision。如果针对不同的key产生不同的hash value，且hash value分布在连续的整数区间内，则称之为minimal perfect hash function，或者minimal perfect hashing。所以上面提到的函数hx严格来说是一个minimal perfect hash function。

有了hx，我们就可以将X映射到n个连续的格子（bucket）中，每个元素对应其中一个格子。下面我们还需要另一个hash function，它针对每个元素完全随机地生成j位长的hash value，然后将hash value作为这个元素的fingerprint存储在对应的格子里。记这个函数为φ: [1…u] → [0…2j-1]。

有了hx和φ，我们就可以分两步将X映射到一个m = n .j位的内存中，且查找的错误率为1/2j，因为只有在j位fingerprint完全吻合的情况下才会出现false positive。在Bloom Filter概念和原理一文中，我们提到过Bloom Filter的错误率为(1/2)k ≥ (1/2)mln2/n。因此当m = n .j时，Bloom Filter的错误率为(0.6185)j，高于这种基于perfect hashing的方法。如果Bloom Filter要保持1/2j的错误率，必须有m = n .j / ln2，因此所占空间是基于perfect hashing方法的1 / ln2倍。

这种方法看起来很诱人，可惜只能用在静态集合上。在一些本身就具有静态集合特征的应用场合下，比如某种程序设计语言的关键字，或者某张光盘里的文件目录，它可以作为一种节省空间的方法得以应用。后续的文章中还会介绍一种d-left counting bloom filter，它借鉴了这种基于perfect hashing的方法，在保留counting bloom filter功能的前提下比它节省了大约一半空间。