题目描述

给定一个多项式(ax + by)^k，请求出多项式展开后x^n y^m项的系数。

输入

输入文件名为 factor.in。
共一行，包含 5 个整数，分别为a，b，k，n，m，每两个整数之间用一个空格隔开。

输出

输出文件名为 factor.out。
输出共 1 行，包含一个整数，表示所求的系数，这个系数可能很大，输出对10007 取
模后的结果。

样例输入

Copy (如果复制到控制台无换行，可以先粘贴到文本编辑器，再复制)

factor.in 
1 1 3 1 2

样例输出

factor.out
3

提示

【数据范围】

对于 30%的数据，有0≤k≤10；

对于 50%的数据，有a = 1，b = 1；

对于 100%的数据，有0≤k≤1,000，0≤n, m≤k，且n + m = k，0≤a，b≤1,000,000。

思路讲解

这道题可以用组合数直接得解，但这里用了另一个方法，利用杨辉三角进行的DP求解

用 f [ i ][ j ] 表示 系数，则会有 f [ 1 ][ 1 ] = 1 , 则 f [ 1 ][ 2 ]  表示 的系数, f [ 2 ][ 1 ] 表示的系数, f [ 3 ][ 1 ] 表示 dexi的系数，根据杨辉三角的性质，，则有 f [ i ][ j ] = f [ i - 1 ][ j ] +ｆ[ i ][ j - 1 ] ,这只是针对其系数为一的情况，那该怎样做呢，对于，则为 f [ i ][ j ] = f [ i - 1 ][ j ] * a +ｆ[ i ][ j - 1 ] * b ,但在编程实践中要注意不要数组越界

代码

结合代码理解

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
   
int a , b , k , m , n ;
long long f[1007][1007] ;
   
int main()
{
    scanf("%d%d%d%d%d", &a , &b , &k , &n , &m );
    f[1][1] = 1 ;//零次方的系数 
    for(int i = 1 ; i <= n +1; ++ i )
    {
        for(int j = 1 ; j <= m +1; ++ j )
        {
            if( i == 1 && j == 1 )
                continue;
            f[i][j] = 0;
            if( i > 1 )//防止数组的越界
                f[i][j] = (f[i][j] + f[i-1][j] * a ) % 10007;//系数都要乘上 a 或 b 
            if( j > 1 )
                f[i][j] = (f[i][j] + f[i][j-1] * b ) % 10007;
        } 
    }
    cout<<f[n+1][m+1];
}