NOIP2011 计算系数（组合数+二项式定理）

题意：给定一个多项式 $(by+ax)^k$ ，请求出多项式展开后 $x^n*y^m$ 项的系数。给出 $a,b,k,n,m$ 。

二项式定理：

(a + b)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} a^{k} b^{n - k}

$(a+b)^n=\sum^n_{k=0}\ C^k_n\ a^k\ b^{n-k}$

然后我们根据题目继续推导：

(b y + a x)^{k} = \sum_{p = 0}^{k} C_{k}^{p} (b y)^{p} (a x)^{k - p} = \sum_{p = 0}^{k} (C_{k}^{p} b^{p} a^{k - p}) y^{p} x^{k - p}

$(by+ax)^k=\sum_{p=0}^k\ C^p_k\ (by)^p\ (ax)^{k-p}=\sum_{p=0}^k\ (C^p_k\ b^p\ a^{k-p})y^px^{k-p}$

因为题目要求的是 $x^n*y^m$ 项的系数，所以 $k-p=n$ ， $p=m$ ，故我们要求的结果就是 $C^m_k\ b^m\ a^n$ 。

$b^m$ 和 $a^n$ 我们可以通过快速幂求出，那 $C^m_k$ 该如何求呢？

根据组合数的展开式 $C^m_k=\frac{k!}{m!(m-k)!}$ ，我们首先预处理出 $1-k$ 的阶乘，然后算出 $\frac{k!}{m!}$ 也就是 $k!*m!$ 的逆元。然后再乘上 $(m-k)!$ 的逆元即可。

对于求逆元，一个数 $a\ mod\ p$ 意义下的逆元 $=a^{p-2} \qquad(p$ 为质数)

下面上代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std; 
const int mod=10007;
ll a,b,k,n,m;
ll ksm(ll q,ll w)
{
    ll h=1;
    while(w)
    {
        if(w&1)
            h=h*q%mod;
        q=q*q%mod;
        w>>=1;
    }
    return h;
}
ll jc[10000];
void calc()
{
    jc[1]=1;
    for(int i=2;i<=1100;++i)
        jc[i]=(jc[i-1]%mod*i)%mod;
}
ll inv(ll a)
{
    return ksm(a,mod-2);
}
ll c(ll m,ll k)
{
    ll x=jc[k]*inv(jc[m])%mod;
    ll xx=inv(jc[k-m])%mod;
    return (x*xx)%mod;
}
int main()
{
    cin>>a>>b>>k>>n>>m;
    calc();
    ll ans=1;
    ans=(ans*c(m,k))%mod;
    ans=(ans*ksm(a,n))%mod;
    ans=(ans*ksm(b,m))%mod;
    cout<<ans%mod;
    return 0;
}

NOIP2011 计算系数（组合数+二项式定理）

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