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【问题描述】

FJ有M个牛棚，编号1至M，刚开始所有牛棚都是空的。
FJ有N头牛，编号1至N，这N头牛按照编号从小到大依次排队走进牛棚，每一天只有一头奶牛走进牛棚。第i头奶牛选择走进第p[i]个牛棚。
由于奶牛是群体动物，所以每当一头奶牛x进入牛棚y之后，牛棚y里的所有奶牛们都会喊一声“欢迎欢迎，热烈欢迎”，由于声音很大，所以产生噪音，产生噪音的大小等于该牛棚里所有奶牛（包括刚进去的奶牛x在内)的数量。
FJ很讨厌噪音，所以FJ决定最多可以使用K次“清空”操作，每次“清空”操作就是选择一个牛棚，把该牛棚里所有奶牛都清理出去，那些奶牛永远消失。“清空”操作只能在噪音产生后执行。
现在的问题是：FJ应该选择如何执行“清空”操作，才能使得所有奶牛进入牛棚后所产生的噪音总和最小？

【输入】

第一行，N、M、K。
接下来有N行，每行一个整数，第i行是p[i]。

【输出】

一个整数，最小的噪音总和。

【输入输出样例1】

noise.in
5 1 2
1
1
1
1
1
noise.out
7

样例解释1：

第1头奶牛进入牛棚且产生噪音后，“清空”牛棚。第3头奶牛进入牛棚且产生噪音后，再次“清空”牛棚。5头奶牛产生的噪音依次是：1，1，2，1，2。如果没有“清空”操作，5头奶牛产生的噪音依次是：1，2，3，4，5。

【输入输出样例2】

noise.in
11 2 3
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
noise.out
18

样例解释2：

第3头奶牛进入牛棚1且产生噪音后，“清空”牛棚1。第7头奶牛进入牛棚1且产生噪音后，“清空”牛棚1。第6头奶牛进入牛棚2且产生噪音后，“清空”牛棚2。

【数据范围】

对于40%的数据，M=1。
对于60%的数据，1<=N <= 1000。
对于80%的数据，1<=N <= 50000。
对于100%数据， 1<=N <= 1000000, 1<=M<=100, 1<=K<= 500。

• $40pts$：
  样例中给定的 $m=1$的情况，
  分析一下可以发现我们要尽可能的把一个牛棚均匀分成 $k$段，
  那么我们只需要在 $k+1$等分点上清空就好了。
  通过暴力可以得到 $40$分.

• $80pts$：
  考虑贪心，我们将清空次数尽量分给牛多的牛棚，可以骗到 $80$分.

• $100pts$：是 $dp$（惊不惊喜，意不意外）。
  $m=1$的情况可以告诉我们第 $i$个牛棚清空 $j$次都是有最优解的，那么我们可以求出 $f[i][j]$，表示第 $i$个牛棚清空 $j$次的最小噪音值。 这样我们可以枚举第几个牛棚清空几次。然后可以发现这就是背包问题，再开一个数组 $g[i][j]$表示 $1\sim i$个牛棚中清空 $j$次的最小噪音值，就可以解决了。

  • 求出 $f[i][j]$是一个难点。假设我们要把第 $i$个牛棚清空 $j$次，那么实际上我们就是把第 $i$个牛棚分成了 $j+1$段，我们的目的是把每一段的牛的数量尽可能的靠近 $num[i] / (j + 1)$，但是有可能不能平均分，这个时候就有一些段要分 $num[i] / (j + 1) + 1$头牛，具体有多少段呢？ $num[i] \% (j + 1)$，平均分的段数自然也就出来了。
  • 这道题的关键就是各个牛棚之间不互相影响，那么对于每一个局部部分我们可以先算出局部最优解，最后合并成全局最优解，是一种通用的技巧。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e6+10,maxm=110,maxk=510;

template<typename T>inline void read(T &x)
{
	x=0;
	T f=1, ch=getchar();
	while (!isdigit(ch) && ch^'-') ch=getchar();
	if (ch=='-') f=-1, ch=getchar();
	while (isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48), ch=getchar();
	x*=f;
}

inline ll C(ll x)
{
	return x*(x+1)>>1;
}

ll num[maxn],f[maxm][maxk],g[maxm][maxk];
int main()
{
	freopen("noise.in","r",stdin);
	freopen("noise.out","w",stdout);
	int n,m,k;
	read(n);read(m);read(k);
	for (int i=1; i<=n; ++i)
	{
		int x;read(x);
		++num[x];
	}

	for (int i=1; i<=m; ++i)
		for (int j=1; j<=k; ++j)
		{
			f[i][0]=C(num[i]);
			for (int l=1; l<=j; ++l)
			{
				ll a=num[i]%(j+1),b=j+1-a;
				f[i][j]=b*C(num[i]/(j+1))+a*C(num[i]/(j+1)+1);
			}
		}

	for (int i=1; i<=m; ++i)
		for (int j=0; j<=k; ++j)
		{
			g[i][j]=g[i-1][j]+f[i][0];
			for (int l=1; l<=j; ++l)
				g[i][j]=min(g[i][j],g[i-1][j-l]+f[i][l]);
		}
	printf("%lld\n",g[m][k]);
	return 0;
}