算法图解第七章笔记与习题(狄克斯特拉算法)
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7.1 狄克斯特拉(Dijkstra)算法
广度优先算法可以找出在最短路径,而狄克斯特拉算法可以找出最快路径。
狄克斯特拉算法包含4个步骤:
(1) 找出最便宜的节点,即可在最短时间内前往的节点。
(2) 对于该节点的邻居,检查是否有前往它们的更短路径,如果有,就更新其开销。
(3) 重复这个过程,直到对图中的每个节点都这样做了。
(4) 计算最终路径。
7.2 术语介绍
- 迪杰斯特拉算法用于每条边都有关联数字的图,这些数字称为权重(weight)。
- 带权重的图称为加权图(weighted graph),不带权重的图称为非加权图(unweighted graph)。
要计算非加权图中的最短路径,可使用广度优先搜索。要计算加权图中的最短路径,可使用狄克斯特拉算法。
图中可能会有环,即可以走回原点的图。
对于无向图来说,每条边都是一个环。狄克斯特拉算法只适用于有向无环图(directed acyclic graph,DAG)。
狄克斯特拉算法的关键理念是:找出图中最便宜的节点,并确保没有到该节点的更便宜的路径!
7.3 负权边
负权边:在图中,可能出现边的权重为负数的情况,即经过这条边时,花销反而减少。
如果有负权边,则不能使用狄克斯特拉算法。
因为狄克斯特拉算法有一个前提假设:对于处理过的节点,没有前往该节点的更短路径。而负权边破坏了这一假设,使得算法不成立。
在包含负权边的图中,要找出最短路径,可使用另一种算法——贝尔曼-福德算法(Bellman-Ford algorithm)。
7.4 实现
以下图为例实现狄克斯特拉算法的代码:
要解决这个问题,需要先画出三个散列表:
随着算法的进行,将不断更新散列表costs和parents。
首先需要实现这个图,由于需要同时存储邻居和前往邻居的开销,因此需要使用散列表嵌套散列表。
graph["start"] = {}
graph["start"]["a"] = 6
graph["start"]["b"] = 2
另外,仍需要一个散列表来存储每个节点的开销(指从起点出发前往该节点需要的时间)。以及一个散列表存储父节点,用来更新最短路径。
最后还需要一个数组用来记录处理过的节点,因为对于同一个节点,不需要多次处理。
算法的整体流程图如下:
![](https://i.loli.net/2019/03/28/5c9cc353acd54.png)
# 添加节点和邻居
graph = {}
graph["start"] = {}
graph["start"]["a"] = 6
graph["start"]["b"] = 2
graph["a"] = {}
graph["a"]["fin"] = 1
graph["b"] = {}
graph["b"]["a"] = 3
graph["b"]["fin"] = 5
graph["fin"] = {} # 终点没有邻居
# 存储每个节点开销的散列表
infinity = float("inf")
costs = {}
costs["a"] = 6
costs["b"] = 2
costs["fin"] = infinity
# 存储父节点的散列表
parents = {}
parents["a"] = "start"
parents["b"] = "start"
parents["fin"] = None
processed = [] # 一个数组,用于记录处理过的节点。因为对于同一个节点,不用处理多次。
def find_lowest_cost_node(costs):
lowest_cost = float("inf")
lowest_cost_node = None
# 遍历所有的节点
for node in costs:
cost = costs[node]
# 如果当前节点的开销更低且未处理过
if cost < lowest_cost and node not in processed:
# 就将其视为开销最低的节点
lowest_cost = cost
lowest_cost_node = node
return lowest_cost_node
# 在未处理的节点中找出开销最小的节点
node = find_lowest_cost_node(costs)
# 这个while循环在所有节点都被处理过后结束
while node is not None:
cost = costs[node]
# 遍历当前节点的所有邻居
neighbors = graph[node]
for n in neighbors.keys():
new_cost = cost + neighbors[n]
# 如果经当前节点前往该邻居更近
if costs[n] > new_cost:
# 就更新该邻居的开销
costs[n] = new_cost
# 同时将该邻居的父节点设置为当前节点
parents[n] = node
# 将当前节点标记为处理过
processed.append(node)
# 找出接下来要处理的节点,并做循环
node = find_lowest_cost_node(costs)
print ("Cost from the start to each node:")
print (costs)
#Cost from the start to each node:
{'a':5, 'b':2, 'fin':6}
7.5 小结
- 广度优先搜索用于在非加权图中查找最短路径。
- 狄克斯特拉算法用于在加权图中查找最短路径。
- 仅当权重为正时狄克斯特拉算法才管用。
- 如果图中包含负权边,请使用贝尔曼·福德算法。
练习
习题7.1:
- 在下面的各个图中,从起点到终点的最短路径的总权重分别是多少?
A:起点→5→2→1,到达终点,总权重为8。
B:起点→10→20→30,到达终点,总权重为60。
C:起点→2→2,到达终点,总权重为4。(用狄克斯特拉算法无法获取最短路径)