一、基本概念
二分搜索树:(又:二分查找树,二叉排序树)它或者是一棵空树,或者是具有下列性质:
若它的左子树不空,则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值;
若它的右子树不空,则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值;
它的左、右子树也分别为二叉排序树。
二、代码实现
1.首先构建二分搜索数的基本结构
这里使用泛型来构建,始终记住二分搜索树存储的元素必须有可比较性
size用来记录二分搜索的元素个数
public class BST<E extends Comparable<E>> {
private class Node {
public E e;
public Node left, right;
public Node(E e) {
this.e = e;
left = null;
right = null;
}
}
private Node root;
private int size;
public BST() {
root = null;
size = 0;
}
public int size() {
return size;
}
public boolean isEmpty() {
return size == 0;
}
}
2.实现二分搜索树的添加方法
//向二分搜索树添加新的元素e
public void add(E e) {
root = add(root, e);
}
//向以node为根的二分搜索树中插入元素e,递归
//返回插入新节点后的二分搜索树
private Node add(Node node, E e) {
if (node == null) {
size++;
return new Node(e);
}
if (e.compareTo(node.e) < 0) {
node.left = add(node.left, e);
} else if (e.compareTo(node.e) > 0) {
node.right = add(node.right, e);
}
//向以node为根的二分搜索树中插入元素e,但二分搜索树的根还是node,所以返回根节点
return node;
}
3.实现二叉搜索树的查询方法
//判断是否包含元素e
public boolean contains(E e) {
return contain(root, e);
}
private boolean contain(Node node, E e) {
if (node == null)
return false;
if (e.compareTo(node.e) == 0) {
return true;
} else if (e.compareTo(node.e) < 0) {
return contain(node.left, e);
} else{
return contain(node.right, e);
}
}
4.实现二叉树的前、中、后序遍历
1.前序遍历
//前序遍历
public void preOrder() {
preOrder(root);
}
//谦虚遍历以node为根的二分搜索树,递归算法
private void preOrder(Node node) {
if (node == null)
return;
System.out.print(node.e);
preOrder(node.left);
preOrder(node.right);
}
2.中序遍历
//中序遍历
public void inOrder() {
inOrder(root);
}
//中序结果为从小到大
private void inOrder(Node root) {
if (root == null)
return;
inOrder(root.left);
System.out.print(root.e);
inOrder(root.right);
}
3.后序遍历
//后序遍历
public void postOrder() {
postOrder(root);
}
private void postOrder(Node root) {
if (root == null)
return;
postOrder(root.left);
postOrder(root.right);
System.out.print(root.e);
}
4.测试前、中、后遍历
这里先是构建了一个名为bst的二分搜索树,然后分别进行前、中、后序输出
有两个System.out.println是为了将前、中、后序分行来输出
public class Main {
public static void main(String[] args) {
BST<Integer> bst = new BST<>();
int[] nums = {5,3,6,8,4,2,1};
for(int num:nums)
bst.add(num);
bst.preOrder();
System.out.println();
bst.inOrder();
System.out.println();
bst.postOrder();
}
}
构建的二分搜索树如下(每次添加元素都会先从root根结点开始向下比较)
测试结果:
前序:5321468
中序:1234568 注意!!! 可以发现二分搜索树的中序遍历结果是从小到大输出元素的
后续:1243865
5.二叉搜索树的层序遍历
层序遍历顾名思义就是一层一层的遍历,也称为广度优先遍历
这里借助队列实现层序遍历,首先将root根节点添加到队列中,然后移除root再将其左右子树添加.....
public void levelOrder(){
Queue<Node> queue = new LinkedList<>();
queue.add(root);
while (!queue.isEmpty()){
Node cur = queue.remove();
System.out.println(cur.e);
if(cur.left != null)
queue.add(cur.left);
if(cur.right != null)
queue.add(cur.right);
}
}
6.删除二叉树的最小、最大值结点
删除二叉树最小值结点思路:一遍递归寻找node,left==null; 的结点,该结点就是该二叉搜索树的最小值结点,此时需要删除该结点,只需将结点被赋值为该结点的右子树即可。
//从二分搜索树中删除小值所在结点,返回最小值
public E removeMin(){
//miniNode()函数返回该树的最小值
E min = miniNode();
//removeMin()函数删除该树的最小值且返回删除后最小值的根结点
root = removeMin(root);
return min;
}
private Node removeMin(Node node) {
//当node结点的左孩子为空时,可以判断出此时node为此二叉搜索树的最小值,所以删除该结点
//使用该node结点的右子树代替node
if(node.left==null){
Node rightNode = node.right;
node.right = null;
size--;
return rightNode;
}
node.left = removeMin(node.left);
return node;
}
删除二叉树最大值结点思路:一遍递归寻找node,right==null; 的结点,该结点就是该二叉搜索树的最大值结点,此时需要删除该结点,只需将结点被赋值为该结点的左子树即可。
public E removeMax(){
E max = maxNode();
root = removeMax(root);
return max;
}
private Node removeMax(Node node) {
if(node.right==null){
Node leftNode = node.left;
node.left = null;
size--;
return leftNode;
}
node.right = removeMax(node.right);
return node;
}
注意:删除二叉搜索树只包含左孩子和只包含右孩子其实和删除最小、最大值方法类似。
7.删除二叉搜索树的任意结点
对于上面的第6点,只是删除最小或最大值的节点,最小和最大值节点对于二叉搜索树而言绝对是叶子节点。
然而对于删除二叉搜索树的任意节点,此时就要考虑到如果待删节点左右孩子都不为空的情况。
对于下面的二叉搜索树如果要删除的节点是58,那么删除之后应该是用那个节点来代替58节点的位置呢?
仔细观察下图会发现可以选择58节点右子树后节点的最小值!也就是59号节点。所以也就是找到待删节点右子树后最小值,将该最小值去替代待删节点 (前提是,该待删节点左右孩子都不为空,如果为空就是上面第6点讲的方法了~)
//删除以node为根的二分搜索树中值为e的结点
private Node remove(Node node, E e) {
if(node == null)
return null;
if(e.compareTo(node.e) < 0){
node.left = remove(node.left,e);
return node;
}else if(e.compareTo(node.e) > 0){
node.right = remove(node.right,e);
return node;
} else{
//如果该待删节点左子树为空
if(node.left == null){
Node rightNode = node.right;
node.right = null;
size--;
return rightNode;
}
//如果该待删节点右子树为空
if(node.left == null){
Node leftNode = node.right;
node.right = null;
size--;
return leftNode;
}
//待删除节点左右子树都不为空
//调用miniNode函数找出node右子树后最小的节点值
Node successor = miniNode(node.right);
//调用removeMin函数删除node右子树后最小值的节点
successor.right = removeMin(node.right);
successor.left = node.left;
node.left = node.right = null;
return successor;
}
}
如果将上面代码看懂了后,你也许会想到对于删除有左右孩子的节点,也可以采用待删节点的左孩子的最大值来代替自己!
如下图待删节点58,你也可以选择用该待删节点的左子树中的最大值,就是53来代替自己