§2.3 逆矩阵
§2.4 矩阵分块法
2.3 逆矩阵
对于
n阶矩阵
A,如果有一个
n阶矩阵
B,使
AB=BA=E
则说矩阵
A是可逆的,并把矩阵
B称为矩阵
A的逆矩阵,简称逆阵。
定理:
若矩阵
A可逆,则
∣A∤=0.
定理:
若
∣A∤=0,则矩阵
A可逆,且
A−1=∣A∣1A∗,
其中
A∗为矩阵
A的伴随矩阵。
当
∣A∣=0时,
A称为奇异矩阵,否则称为非奇异矩阵。则
A是可逆矩阵的充分必要条件是
∣A∤=0,即可逆矩阵就是非奇异矩阵。
推论
若
AB=E(BA=E),则
B=A−1.
运算规律
1、若
A可逆,则
A−1也可逆,且
(A−1)−1=A.
2、若
A可逆,数
λ̸=0,则,
λA可逆,且
(λA)−1=λ1A−1.
3、若
A、
B为同阶矩阵且均可逆,则
AB亦可逆,且
(AB)−1=B−1A−1.
设
φ(x)=a0+a1x+⋯+amxm
为
x的
m次多项式,
A为
n阶矩阵,记
φ(A)=a0E+a1A+⋯+amAm
φ(A)称为矩阵
A的
m次多项式。
2.4 矩阵分块法
我们将矩阵
A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵,每一个矩阵称为
A的子块,以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。
分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则想类似。
对线性方程组
⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1,a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2,⋯⋯am1x1+am2x2+⋯+amnxn=bm,
记
A=(aij),
x=⎝⎜⎜⎜⎛x1x2⋮xn⎠⎟⎟⎟⎞,
b=⎝⎜⎜⎜⎛b1b2⋮xm⎠⎟⎟⎟⎞,
B=⎝⎜⎜⎜⎛a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋯a1na2n⋮amnb1b2⋮bm⎠⎟⎟⎟⎞,
其中
A称为系数矩阵,
x称为未知数向量,
b称为常数项向量,
B称为增广矩阵。
按照分块矩阵的记法可记为:
B=(A ⋮ b),或
B=(A,b)=(a1,a2,⋯,an,b).
此方程可记为
Ax=b,
以向量
x为未知源,它的解称为方程组的解向量。
克拉默法则
对于
n个变量,
n个方程的线性方程组
⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1,a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2,⋯⋯an1x1+an2x2+⋯+annxn=bn,
如果它的系数行列式
D̸=0,则它有唯一解
xj=D1Dj=D1(bjA1j+b2A2j+⋯+bnAnj)(j=1,2,⋯,n).
《线性代数》同济大学第五版笔记