版权声明:我极少创造新知识,大部分情况下是个知识的二道贩子 https://blog.csdn.net/stereohomology/article/details/90113467
今天早上打开小木虫看到有人问下面的问题 :
如图中给出b1,b2,那么他这个b3,b4定义是什么意思。如何推到计算出来的
因为图不太清楚,我就用Google, 取其中一句话,In this sectin we shall prove that the posutre kinematic model of nondegenerate mobile robots
加双引号,搜了一下,找到唯一定位的这篇文章 , 是一篇IEEE Transactions 刊物1996年的论文,PDF不清晰但可以下载。 针对这个问题,我思考了下,因为是四维向量,似乎的确没有太好的方法表示"[*]"里面的这种计算,不过“正交补”这种子空间应该是有的、在Mathematica里面对应·NullSpace
函数。计算了一下,得到的结果明显比论文里面给出的结果优越:
已知
b
1
(
z
)
=
(
−
L
⋅
sin
θ
⋅
sin
β
L
⋅
cos
θ
⋅
sin
β
cos
β
0
)
,
b
2
(
z
)
=
(
0
0
0
1
)
b_1(z)=\left(\begin{array}{c} -L \cdot \sin \theta\cdot \sin \beta \\ L \cdot \cos \theta\cdot \sin \beta \\ \cos \beta \\ 0 \\ \end{array}\right),\quad b_2(z)=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array}\right)
b 1 ( z ) = ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ − L ⋅ sin θ ⋅ sin β L ⋅ cos θ ⋅ sin β cos β 0 ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ , b 2 ( z ) = ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ 0 0 0 1 ⎠ ⎟ ⎟ ⎞
它们两个的正交补的正交基、容易得到是下面两个列向量:
b
3
∗
(
z
)
=
(
1
sin
θ
cos
β
sin
β
L
0
1
0
)
,
b
4
∗
(
z
)
=
(
cos
θ
sin
θ
1
0
0
)
b^*_3(z)=\left( \begin{array}{c} \dfrac{\dfrac{1}{\sin\theta} \dfrac{\cos \beta}{\sin\beta}}{L} \\[15pt] 0 \\[10pt] 1 \\[10pt] 0 \\ \end{array} \right) , \quad b^*_4(z)=\left( \begin{array}{c} \dfrac{\cos\theta}{\sin \theta} \\[15pt] 1 \\[10pt] 0 \\[10pt] 0 \\ \end{array} \right)
b 3 ∗ ( z ) = ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ L sin θ 1 sin β cos β 0 1 0 ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞ , b 4 ∗ ( z ) = ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ sin θ cos θ 1 0 0 ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞ 整理成:
b
3
(
z
)
=
(
cos
β
0
L
sin
θ
⋅
sin
β
0
)
(
Not good, eliminated
)
≈
(
−
sin
θ
cos
β
cos
θ
cos
β
−
L
sin
β
0
)
,
b
4
(
z
)
=
(
cos
θ
sin
θ
0
0
)
b_3(z)={\color{blue}{\left( \begin{array}{c} \cos\beta \\[15pt] 0 \\[10pt] L\sin \theta\cdot\sin\beta \\[10pt] 0 \\ \end{array} \right)}}\left(\color{red}\text{Not good, eliminated}\right) \approx \left(\begin{array}{c} -\sin \theta \cos \beta \\[10pt] \cos \theta \cos\beta \\[10pt] -L \sin\beta \\[10pt] 0\\ \end{array} \right), \quad b_4(z)=\left( \begin{array}{c} {\cos\theta} \\[15pt] \sin\theta \\[10pt] 0 \\[10pt] 0 \\ \end{array} \right)
b 3 ( z ) = ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ cos β 0 L sin θ ⋅ sin β 0 ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞ ( Not good, eliminated ) ≈ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ − sin θ cos β cos θ cos β − L sin β 0 ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞ , b 4 ( z ) = ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ cos θ sin θ 0 0 ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞
这样一来
b
1
(
z
)
,
b
2
(
z
)
,
b
3
(
z
)
,
b
4
(
z
)
b_1(z), b_2(z),b_3(z),b_4(z)
b 1 ( z ) , b 2 ( z ) , b 3 ( z ) , b 4 ( z ) 除了
b
1
,
b
3
b_1,b_3
b 1 , b 3 之外都正交。不知道原作者为什么得到那么奇怪的一个
b
3
(
z
)
b_3(z)
b 3 ( z ) ?