给定一个数组A,要求找到数组A中第K大的数字。对于这个问题,解决方案有不少,此处我只给出三种:
方法1:
对数组A进行排序,然后遍历一遍就可以找到第K大的数字。该方法的时间复杂度为O(N*logN)
方法2:
利用简单选择排序法的思想,每次通过比较选出最大的数字来,比较上K次就能找出第K大的数字来。该方法的时间复杂度为O(N*K),最坏情况下为O(N^2)。
方法3:
这种方法是本文谈论的重点,可以利用快排的思想,首先快排每次执行都能确定一个元素的最终的位置,如果这个位置是n-k(其中n是数组A的长度)的话,那么就相当于找到了第K大的元素。设确定的元素位置m的话,如果m > n - k大的话,那么第K大的数字一定
在A[0]~A[m - 1]之间;如果m < n - k的话,那么第K大的数字一定在A[m+1]~A[n - 1]之间。整个过程可以通过递归实现,具体代码如下:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 |
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注意:
1.第K大的数字在数组中对应的位置为n-k(按照升序排序的话)。
2.该算法的时间复杂度整体上为O(N)。
3.需要注意的是:这种方法会改变数组中元素的顺序,即会改变数组本身。
4.如果要求第K小的数字的话,只需把n-k换成k-1即可(升序排序)。
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接下来,我们仔细分析一下方法3的时间复杂度,其实方法3在《算法导论》第九章有着比较详细的描述,但《算法导论》说的是期望为线性时间的选择算法,即该算法的时间复杂度在平均情况下或者一般情况下为O(n);因为此处利用的快排的思想,而快排的时间
复杂度在一般情况下为O(N*logN),但在最坏的情况下(即整个数组原本就是有序的情况)时间复杂度为O(N^2)。所以说对于方法3,《算导》最后给定结果是这样的:平均时间复杂度为O(N),最坏情况下的时间复杂度为O(N^2)。
但是,此处的“平均”同快排一样,是适用于绝大数的情况的。所以我们通常说该算法的时间复杂度为O(N)。
1.我们要搞清楚一点,快排是对参考元素两边都进行递归,而我们的方法3只考虑参考元素的一边,即只对一边进行递归。
2.我们可以粗略的估计下(具体计算还是参考《算导》),在一般情况下方法3的时间复杂度计算公式,假设我们的数据足够的随机,每次划分都在数据序列的中间位置,根据条件1,那么第一次划分我们需要遍历约n个数,第二次需要遍历约n/2个数,...,这样递归下去,最后:
当m趋于无穷大时,该式子收敛于2n,故可以认为其期望时间复杂度为O(N).
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实际上,《算导》还给出了一种最坏情况下时间复杂度为O(N)的解法,这种方法与方法3类似,都采用了类似快排的思想,但做了一些改变,同时把参考元素也作为输入参数,具体的话此处不再详述,感兴趣可参考《算导》第九章第三节。
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