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整理一下数值分析的笔记~
目录:
1. 误差
2. 多项式插值与样条插值
3. 函数逼近
4. 数值积分与数值微分(THIS)
5. 线性方程组的直接解法
6. 线性方程组的迭代解法
7. 非线性方程求根
8. 特征值和特征向量的计算
9. 常微分方程初值问题的数值解
1. 基本概念
定义1:若求积公式:
∫abf(x)dx≈∑k=0nAkf(xk)对于
f(x)=xj(j=0,1,2...,m)都精确成立,但对
f(x)=−xm+1不精确成立,则称该求积公式具有m次代数精度。
例:确定形如
∫03f(x)dx≈A0f(0)+A1f(1)+A2f(2)的求积公式。
解:令公式对
f(x)=1,x,x2都精确成立,则:
⎩⎪⎨⎪⎧A0+A1+A2=3A1+3A2=29A1+9A2=9解方程得求积公式,该公式对f(x)=x2成立但对f(x)=x3不成立,代数精度为2.
插值型求积公式:在积分区间
[a,b]上取
n+1个节点
xi,i=0,1,2,...,n作
f(x)的
n次代数插值多项式(拉格朗日插值公式):
In(x)=∑j=0nlj(x)f(xj),有f(x)=Ln(x)+Rn(x),其中
Rn(x)=(n+1)!f(n+1)(ξ)ωn+1(x)为插值余项,
ωn+1(x)=∏k=0n(x−xk),于是有:
∫abf(x)dx=∫1bLn(x)dx+∫abRn(x)dx=j=0∑n[∫ablj(x)dx]f(xj)+∫abR(x)dx
取
∫abf(x)dx≈∑k=0nf(xk)Ak=∑k=0nf(xk)∫ablk(x)dx
Ak=∫ab∏i=0,i!=knxk−xix−xidx取决于节点,与
f(x)无关,称为插值型求积公式。
截断误差:
R[f]=∫abf(x)dx−k=0∑nAkf(xk)=∫ab[f(x)−Ln(x)]dx=∫ab(n+1)!fn+1(ξx)k=0∏n(x−xk)dx
2. Newton-Cotes公式
牛顿-科特茨公式指等距节点下使用Lagrange插值多项式建立的数值求积公式。
In(f)=k=0∑nAkf(xk)=(b−a)k=0∑nf(xk)其中Ck(n)=n⋅k!⋅(n−k)!(−1)n−k∫0n0≤j≤n,j!=k∏(t−j)dt称为Cotes系数只与k和n有关,且满足Ck(n)=Cn−k(n),j=0∑nCj(n)=1
低阶牛顿-科特茨公式及其余项
n=1,2,4时公式最常用,称为低阶公式
Cotes系数:
C0(1)=−∫01(t−1)dt=0.5C1(1)=∫01tdt=0.5
求积公式:
I1(f)=(b−1)k=0∑1Ck(1)f(xk)=2(b−a)[f(x0)+f(x1)]n=1时取x0=a,x1=b,h=b−a记为T=I1(f)
余项为:
R(T)=R(I1)=∫abR1(x)dx,Rn(x)=(n+1)!f(n+1)(ξ)ωn+1(x)R(T)=∫ab2f′′(ξ)(x−a)(x−b)dx=2f′′(η)∫ab(x−a)(x−b)dx,η∈[a,b]=−12(b−a)3f′′(η),有∣R(T)∣≤2(b−a)3M2,M2=maxx∈[a,b]∣f′′(x)∣,梯形公式具有一阶代数精度。
Cotes系数
C0(2)=41∫02(t−1)(t−2)dt=61C1(2)=2−1∫02t(t−2)dt=64C2(2)=41∫02(t−1)tdt=61
求积公式:
I2(f)=(b−a)k=0∑2Ck(2)f(xk)=(b−a)[61f(x0)+64f(x1)+61f(x2)],n=2时取x0=a,x1=2b+a,x2=b,h=2b−a记为S=I2(f)
余项:
R(S)=R(I2)=∫abR2(x)dx=−180b−a(2b−a)4f(4)(η)≤2880(b−a)5M4其中M4=maxx∈[a,b]∣f(4)(x)∣Simpson公式具有3阶代数精度。
Cotes系数
C0(4)=4⋅4!1∫04(t−1)(t−2)(t−3)(t−4)dt=7/90C1(4)=4⋅3!1∫04t(t−2)(t−3)(t−4)dt=16/45C2(4)=4⋅2!⋅2!1∫04t(t−1)(t−3)(t−4)dt=2/15C3(4)=4⋅3!1∫04t(t−1)(t−2)(t−4)dt=16/45C4(4)=4⋅4!1∫04t(t−1)(t−2)(t−3)dt=7/90
求积公式:
I4(f)=(b−a)k=0∑4Ck(4)f(xk)=(b−a)[907f(x0)+9032f(x1)+9012f(x2)+9032f(x3)+907f(x4)]
余项:
R(C)=R(I4)CI4(f)=∫abR4(x)dx=−9452(b−1)(4b−a)6f(6)(η)Cotes公式具有五次代数精度
Cotes系数:
例:用梯形公式、Simpson公式和Cotes公式求积分
I=∫011+x24的近似值。
解
f(x)=1+x24,a=0,b=1;精确值∫011+x24dx=4arctanx∣01=π
- 梯形公式:
I≈T=I1(f)=2b−a[f(a)+f(b)]=21[4+2]=3
- Simpson公式:
I≈S=I2(f)=[b−af(a)+4f(2b+1)+f(b)]=61[4+564+2]≈3.13333
- Cotes 公式:
I≈S=I4(f)=90b−1[7f(x0)+32f(x1)+12f(x2)+32f(x3)+7f(x4)]=901[28]+321764+12516+322564+14]≈3.1421176
3. 复合求积公式
问题1.高次插值有Runge现象
→分段低次插值
问题2.高阶牛顿-舒尔茨数值不稳定,低阶不满足精度要求
→积分区间[a,b]分成若干区间,在每个小区间上用低阶求积公式计算,然后求和。
3.1复合求积公式:
∫abf(x)dx=k=0∑n−1∫xkxk+1f(x)dx≈k=0∑n−1Il(k)=hk=0∑(n−1)i=0∑lCi(l)f(xx+ji)=In
可得:
l=1,符合梯形求积公式∫abf(x)dx≈2nb−a[f(a)+2k=1∑n−1f(xk)+f(b)]l=2,符合Simpson求积公式∫abf(x)dx≈Sn=6nb−a[f(a)+4k=0∑n−1f(xk+21)+2k=1∑n−1f(xk)+f(b)]l=4,复合Cotes求积公式∫abf(x)dx≈Cn=90b−a[7f(a)+k=0∑n−1[32f(xk+41)+12f(xk+42)+32f(xk+43)]+14k=1∑n−1f(xk)+7f(b)]
3.2 复合求积公式得余项和收敛的阶
三个求积公式的余项
R(T)=−12(b−1)3f′′(η)单纯的求积公式=−12h⋅h2⋅f′′(η)复合求积公式的每个小区间当n足够大,复合梯形公式的余项:I−Tn≈−12h2[f′(b)−f′(a)]R(S)=−180b−a(2b−a)4f(4)(η)=−1h80(2h)4f(4)(ηk)当n足够大,复合Simpson公式的余项为:I−Sn=−180⋅24h4[f′′′(b)−f′′′(a)]R(C)=−9452(b−a)(4b−a)6f(6)(η)=−9452h(4h)6f(6)(ηk)当n足够大,复合Cotes公式的余项为:I−Cn≈945⋅462h6[f(5)(b)−f(5)(a)]
4. 龙贝格求积公式/逐次分半加速法
计算步骤
-
初值:
T1=2b−1[f(a)+f(b)]
-
令
h=2ib−a(i=0,1,2,...),计算T2n=21Tn+2h∑i=0n−1f(xi+21)
-
外推:
Sn=T2n+(T2n−Tn)/3CN=S2n+(S2n−Sn)/15Rn=C2n+(C2n−Cn)/63
-
满足精度要求则停,否则第二步。
5. 高斯求积公式
∫abf(x)dx≈∑k=0nAkf(xk)含有
2n+2个待定参数
xk,Ak(k=0,1,...,n),当
xk为等距节点时得到的插值求积公式代数精度至少为n次,若选取恰当的节点
xk,有可能使求积公式具有
2n+1次代数精度,这类求积公式称为高斯求积公式,
xk称为高斯点。
为具有一般性研究带权积分,对应的求积公式为
∫abf(x)ρ(x)dx≈∑k=0nAkf(xk),为了使其具有
2n+1次代数精度,只要对
f(x)=xm(m=0,1,...,2n+1)公式都精确成立即可。
例子:构造下列积分的高斯求积公式。
∫01x
f(x)dx≈A0f(x0)+A1f(x1)
解:令式子对
f(x)=1,x,x2,x3准确成立,得到方程组:
⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧A0+A1=32x0A0+x0A0=52x02A0+X12A1=72x03A0+X13A1=92一式化二式,二式化三式,三式化四式,解得x0=0.821162,x1=0.289949,A0=0.389111,A1=0.277556
定理:高斯求积公式的求积系数
Ak(k=0,1,...,n)全为正。
高斯-勒让德求积公式
∫abf(x)ρ(x)dx≈k=0∑nAkf(xk)中取权函数ρ(x)=1,区间为[−1,1].由于勒让德多项式是该区间上的正交多项式,因此勒让德多项式Pn+1(x)的零点就是求积公式的高斯点。
若取
P1(x)=x的零点x0=0作为节点构造求积公式令f(x)=1准确成立,得
A0=2,构造出的高斯-勒让德求积公式
∫−11f(x)dx≈2f(0)是中矩形公式。
若取
P2(x)=21(3x2−1)的两个零点
±3
1构造求积公式,令其对f(x)=1,x准确成立,解得
A0=A1=1,此时得到两点高斯-勒让德求积公式
∫−11f(x)dx≈f(−3
1)+f(−3
1),同样可以求三点高斯-勒让德公式。
高斯勒让德求积公式的节点和系数如下图所示:
若a=-1,b=1,权函数
ρ(x)=1−x2
1,由此建立的高斯公式为:
∫−111−x2
f(x)dx≈k=0∑nAkf(xk)
称为高斯-切比雪夫求积公式,与高斯-勒让德求积公式计算相仿。
{持续更新}
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