一.卷积的定义
- 简单定义:
卷积是分析数学中一种重要的运算。
设:是上的两个可积函数,作积分:
可以证明,关于几乎所有的实数,上述积分是存在的。这样,随着x的不同取值,这个积分就定义了一个新函数,称为函数与的卷积,记为。
- 分析:
(1)将和中的自变量由改为,成为函数的自变量;
(2)把其中一个信号翻转、平移;
(3)将与;对乘积后的图形积分。
二.信号与线性系统中的意义
首先,在提到卷积之前,必须提到卷积出现的背景。卷积是在信号与线性系统的基础上或背景中出现的,脱离这个背景单独谈卷积是没有任何意义的,除了那个所谓褶反公式上的数学意义和积分(或求和,离散情况下)。
信号与线性系统,讨论的就是信号经过一个线性系统以后发生的变化(就是输入 输出 和所经过的所谓系统,这三者之间的数学关系)。所谓线性系统的含义,就是,这个所谓的系统,带来的输出信号与输入信号的数学关系式之间是线性的运算关系。
对于线性系统来说,系统响应=零状态响应+零输入响应,并且零状态响应就是激励与系统函数的卷积,再加上零输入响应。
物理意义:
将信号分解成冲激信号之和,借助系统的冲激响应,求出系统对任意激励信号的零状态响应,即:任意信号可表示为冲激信号的加权和:。
若把它作用于冲激响应为的LTI系统,则响应为:
这就是系统的零状态响应。
:观察响应的时刻。
:激励作用时刻。
某时刻的响应,是到这一时刻之前所有激励产生响应效果的加权叠加。
三.卷积的性质
1.卷积的代数运算
- 交换律:
- 结合律:
对于级联系统:
结论:(1)级联系统的单位冲激响应等于各子系统单位冲激响应的卷积;
(2)级联系统的单位冲激响应与各子系统的连接顺序无关。
- 分配率:
对于并联系统:
结论:并联系统的单位冲击响应等于各子系统的和。
2.卷积的微积分性质
对于任意函数,用表示其一阶导数,用表示其阶导数,用表示其一次积分,用表示其次积分。
- 微分性质:
若,
推广到一般:
- 积分性质:
若,
推广到一般:
3.与冲激函数或阶跃函数的卷积
4.卷积的时移特性
- 若,
5.时限信号的卷积
- 若信号,,则:。
四.计算卷积的方法
1.用图解法计算卷积
两个有限长函数卷积的定义域,,。
应用:
第一步:将两函数的时限值两两相加,得出定义域。
第二步:确定积分限。
2.利用性质计算卷积
3.用函数式计算卷积(分段时限、卷积积分限)
4.数值解法
五.离散卷积
1.离散卷积的引入
任意序列可表示为的加权位移之线性组合:
类似于:
对于零状态的离散线性时不变系统,若:
就必有:
- 时不变:
- 均匀性:
- 可加性:
- 则输出:
系统对的响应=每一样值产生的响应之和,在各处由加权。
2.离散卷积的计算
,m的范围由范围共同决定。
- y(n)的序列元素个数:
若的序列长度为,若的序列长度为,则的序列长度为。
- 几种常用求卷积的方法
(1)解析式法
(2)图解法
(3)对位相乘求和法
(4)利用性质
六.卷积运算的两个效应
- 展宽:卷积的宽度等于被卷积函数的宽度之和。
- 平滑化:被卷积函数经过卷积运算,其细微结构在一定程度上被消除,函数本身的起伏振荡变得平缓圆滑。
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