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第一类斯特林数
表示将
个数放进
个圆排列的方案数。
有一个显然的递推式:
,对应的意义:要么第
个单独构成一个新的圆排列,要么放在之前某个数的后面。
还有一种组合意义:一共进行
次操作,第
次可以添加跟第
~
中任意一种物品相同的旧物品或者添加一种新物品,问最后一共有
中不同物品的方案数,由此可以推出第一类斯特林数的生成函数:
到这里就有两种挺明显的预处理斯特林数方法了:
- 如果要求出每一个 ,可以用 递推
- 如果只用求出每一个 为定值,可以上分治 做到
但有些毒瘤出题人偏偏会卡你的分治
,需要我们在更短的时间内求出某一行的值。
于是就有了下面的倍增算法:
假设我们已经求出了
的系数数组
现在要求的是
那么相当于只用求一个
,这样
然后进入退式子环节:
把后面的
给二项式展开一波:
然后拆开
并改变枚举顺序
然后将
这个数组给
一下就变成了卷积的形式,可以用
处理后面一坨。
这样就做完了。
代码:
//mul函数是自己封装的多项式乘法函数
int n,A,B,a[N],b[N],pos[N],pw[N],tmp[N],fac[N],ifac[N],lim,tim;
inline void solve(int len){
if(len==1){a[1]=1;return;}
if(len&1){
solve(len-1);
for(ri i=len;i;--i)a[i]=add(a[i-1],mul(a[i],len-1));
return;
}
solve(len>>1);
init(len);
int mid=len>>1;
pw[0]=1;
for(ri i=1;i<=mid;++i)pw[i]=mul(pw[i-1],mid);
for(ri i=0;i<=mid;++i)tmp[i]=mul(a[i],fac[i]),b[i]=mul(pw[i],ifac[i]);
for(ri i=mid+1;i<lim;++i)tmp[i]=b[i]=0;
reverse(b,b+mid+1);
mul(tmp,b);
for(ri i=0;i<=mid;++i)b[i]=mul(b[i+mid],ifac[i]);
for(ri i=mid+1;i<lim;++i)b[i]=0;
mul(b,a);
}
一道板题:codeforces960G
推出来式子是
,这个组合意义很简单,然后套上板子即可。
代码:
#include<bits/stdc++.h>
#define ri register int
using namespace std;
const int rlen=1<<18|1;
inline char gc(){
static char buf[rlen],*ib,*ob;
(ib==ob)&&(ob=(ib=buf)+fread(buf,1,rlen,stdin));
return ib==ob?-1:*ib++;
}
inline int read(){
int ans=0;
char ch=gc();
while(!isdigit(ch))ch=gc();
while(isdigit(ch))ans=((ans<<2)+ans<<1)+(ch^48),ch=gc();
return ans;
}
typedef long long ll;
const int mod=998244353;
inline int add(const int&a,const int&b){return a+b>=mod?a+b-mod:a+b;}
inline int dec(const int&a,const int&b){return a>=b?a-b:a-b+mod;}
inline int mul(const int&a,const int&b){return (ll)a*b%mod;}
inline int ksm(int a,int p){int ret=1;for(;p;p>>=1,a=mul(a,a))if(p&1)ret=mul(ret,a);return ret;}
const int N=4e5+5;
int n,A,B,a[N],b[N],pos[N],pw[N],tmp[N],fac[N],ifac[N],lim,tim;
inline void init(const int&up){
lim=1,tim=pos[0]=0;
while(lim<=up)lim<<=1,++tim;
for(ri i=0;i<lim;++i)pos[i]=(pos[i>>1]>>1)|((i&1)<<(tim-1));
}
inline void ntt(int *a,const int&type){
for(ri i=0;i<lim;++i)if(i<pos[i])swap(a[i],a[pos[i]]);
int wn,w,a0,a1,typ=type==1?3:(mod+1)/3,mult=(mod-1)>>1;
for(ri mid=1;mid<lim;mid<<=1,mult>>=1){
wn=ksm(typ,mult);
for(ri j=0,len=mid<<1;j<lim;j+=len){
w=1;
for(ri k=0;k<mid;++k,w=mul(w,wn)){
a0=a[j+k],a1=mul(a[j+k+mid],w);
a[j+k]=add(a0,a1),a[j+k+mid]=dec(a0,a1);
}
}
}
if(type==-1)for(ri i=0,inv=ksm(lim,mod-2);i<lim;++i)a[i]=mul(a[i],inv);
}
inline void mul(int *a,int *b){
ntt(a,1),ntt(b,1);
for(ri i=0;i<lim;++i)b[i]=mul(a[i],b[i]);
ntt(b,-1);
}
inline void solve(int len){
if(len==1){a[1]=1;return;}
if(len&1){
solve(len-1);
for(ri i=len;i;--i)a[i]=add(a[i-1],mul(a[i],len-1));
return;
}
solve(len>>1);
init(len);
int mid=len>>1;
pw[0]=1;
for(ri i=1;i<=mid;++i)pw[i]=mul(pw[i-1],mid);
for(ri i=0;i<=mid;++i)tmp[i]=mul(a[i],fac[i]),b[i]=mul(pw[i],ifac[i]);
for(ri i=mid+1;i<lim;++i)tmp[i]=b[i]=0;
reverse(b,b+mid+1);
mul(tmp,b);
for(ri i=0;i<=mid;++i)b[i]=mul(b[i+mid],ifac[i]);
for(ri i=mid+1;i<lim;++i)b[i]=0;
mul(b,a);
}
inline int C(int n,int m){return n<m?0:mul(mul(fac[n],ifac[m]),ifac[n-m]);}
int main(){
n=read(),A=read(),B=read();
if(n==1)return cout<<(A==1&&B==1),0;
fac[0]=fac[1]=ifac[0]=ifac[1]=1;
for(ri i=2;i<=n;++i)fac[i]=mul(fac[i-1],i),ifac[i]=mul(ifac[mod-mod/i*i],mod-mod/i);
for(ri i=2;i<=n;++i)ifac[i]=mul(ifac[i-1],ifac[i]);
solve(n-1);
cout<<mul(a[A+B-2],C(A+B-2,A-1));
return 0;
}