分部求和法

首先我们知道
$\cfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(u(x)v(x))=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$

$\mathrm d(u(x)v(x))=u'(x)v(x)\mathrm{d}x+u(x)v'(x)\mathrm{d}x$

$\int\mathrm d(u(x)v(x))=\int u'(x)v(x)\mathrm dx+\int u(x)v'(x)\mathrm dx$

移项并注意到 $\int \mathrm d(u(x)v(x))=u(x)v(x)$
$\int u(x)v'(x)\mathrm dx=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\mathrm dx$
这启示我们：在求解积分 $\int f(x)\mathrm dx$时，如果能找到合适的 $u(x),v(x)$，使得被积函数 $f(x)$可以表示为 $u(x)v'(x)$的形式，并且 $u(x)v(x)$和 $\int u'(x)v(x)\mathrm dx$比较好求，就可以用后两项相减求得 $f(x)$的积分。

这个式子可以简单地写作
$\int u\mathrm dv=uv-\int v\mathrm du$
它称为分部积分法。

举个栗子：求 $\int x\cos x\mathrm dx$

解：设 $u=x,\mathrm dv=\cos x\mathrm dx$，那么 $v=\sin x,\mathrm du=\mathrm dx$。

则 $\int x\cos x\mathrm dx=\int u\mathrm dv=uv-\int v\mathrm du=x\sin x-\int\sin x\mathrm dx=x\sin x+\cos x+C$。

这种方法同样可以运用到求和式上，我们有对应的分部求和法。

先介绍若干记号。

$\Delta f(x)=f(x+1)-f(x)$，为函数 $f(x)$的差分函数。 $\Delta$称为差分算子。

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$\sum f(x)\delta x$是不定和式，它的含义如下： $F(x)=\sum f(x)\delta x$当且仅当 $\Delta F(x)=f(x)$。

$f(x)|_a^b=f(b)-f(a)$

$\sum_a^b f(x)\delta x$是定和式，它的含义如下：若 $F(x)=\sum f(x)\delta x$，则 $\sum_a^b f(x)\delta x=F(b)-F(a)$。

利用传统的 $\sum$表示方法，我们有 $\sum_a^b f(x)\delta x=\sum\limits_{k=a}^{b-1}f(k)$。注意这里求和的上界是 $b-1$而不是 $b$。

在有些参考书上 $\sum_a^b$也写作 $\sum\limits_a^b$。

为了推导分部求和法，我们先推导两个函数的积的差分。
$\Delta(u(x)v(x))=u(x+1)v(x+1)-u(x)v(x)$

$=(u(x)+\Delta u(x))v(x+1)-u(x)(v(x+1)-\Delta v(x))$

$=\Delta u(x)v(x+1)+u(x)\Delta v(x)$

两边求和
$u(x)v(x)=\sum\Delta u(x)v(x+1)\mathrm dx+\sum u(x)\Delta v(x)\mathrm dx$

$\sum u(x)\Delta v(x)\mathrm dx=u(x)v(x)-\sum\Delta u(x)v(x+1)\mathrm dx$

这个式子可以简写成
$\sum u\Delta v\delta x=uv-\sum\Delta u\mathrm Ev\delta x$
其中 $\mathrm E$是移位算子，表示 $\mathrm Ef(x)=f(x+1)$。

很多时候我们要求的都是定和式，那么定和式的分部求和法形式就是
$\sum_a^bu\Delta v\delta x=(uv)|_a^b-\sum_a^b\Delta u\mathrm Ev\delta x$
举个栗子：化简 $S=\sum\limits_{k=0}^{n-1}C_k^mH_k$。其中 $H_n$是调和级数，定义为 $H_0=0,H_n=\sum\limits_{i=1}^n\cfrac{1}{i}$。

这里我们使用广义组合数，意味着当 $k<m$时 $C_k^m=0$。

解： $S=\sum_0^nC_x^mH_x\delta x$。

设 $u=H_x,v=C_x^{m+1}$，那么 $\Delta v=C_{x+1}^{m+1}-C_x^{m+1}=C_x^m,\Delta u=\cfrac{1}{x+1}$。

$S=\sum_0^nu\Delta v\delta x=(uv)|_0^n-\sum_0^n\frac{1}{x+1}C_{x+1}^{m+1}$

$=C_n^{m+1}H_n-\sum\limits_{k=0}^{n-1}\frac{1}{k+1}C_{k+1}^{m+1}$

右边这个和式再熟悉不过了，利用吸收恒等式 $\frac{1}{k+1}C_{k+1}^{m+1}=\frac{1}{m+1}C_k^m$，那么

$S=C_n^{m+1}H_n-\frac{1}{m+1}\sum\limits_{k=0}^{n-1}C_k^m=C_n^{m+1}H_n-\frac{1}{m+1}C_n^{m+1}=C_n^{m+1}(H_n-\frac{1}{m+1})$。

还有一个我们很熟悉的栗子：化简 $T=\sum\limits_{k=1}^nkC_{m+k}^{m+1}$。下面我们用分部求和法来试一试。

$T=\sum_1^{n+1}xC_{m+x}^{m+1}\delta x$。设 $u=x,v=C_{m+x}^{m+2}$，那么 $\Delta u=1,\Delta v=C_{m+x}^{m+1}$。

于是 $T=\sum_1^{n+1}u\Delta v\delta x=(uv)|_1^{n+1}-\sum_1^{n+1}\Delta u\mathrm Ev\delta x$

$=(n+1)C_{m+n+1}^{m+2}-\sum\limits_{k=1}^nC_{m+k+1}^{m+2}$

$=(n+1)C_{m+n+1}^{m+2}-C_{m+n+2}^{m+3}$

比传统做法更简便。