单位阶跃信号

$u(t)=\left\{\begin{array}{ll}{0} & {t<0} \\ {1} & {t>0}\end{array}\right.$

有延迟的单位阶跃信号（左加右减）

$u\left(t-t_{0}\right)=\left\{\begin{array}{ll}{0} & {t<t_{0}} \\ {1} & {t>t_{0}}\end{array}, \quad t_{0}>0\right.$

$u\left(t+t_{0}\right)=\left\{\begin{array}{ll}{0} & {t<-t_{0}} \\ {1} & {t>-t_{0}}\end{array}, t_{0}>0\right.$
门函数：也称窗函数

$f(t)=u\left(t+\frac{\tau}{2}\right)-u\left(t-\frac{\tau}{2}\right)$

分解 $f(x)$
当t= $\tau$，脉高： $f(\tau)$，脉宽： $\boldsymbol{\Delta} \tau$，
存在区间： $\\u(t-\tau)-u(t-\tau-\Delta \tau)$
此窄脉冲可表示为： $\\f(\tau)[u(t-\tau)-u(t-\tau-\Delta \tau)]$
从 $x=-\infty$到 $\infty$， $f(t)$可表示为许多窄脉冲叠加

$\begin{aligned} f(t) &=\sum_{\tau=-\infty}^{\infty} f(\tau)[u(t-\tau)-u(t-\tau-\Delta \tau)] \\ &=\sum_{\tau=-\infty}^{\infty} f(\tau) \frac{[u(t-\tau)-u(t-\tau-\Delta \tau)]}{\Delta \tau} \cdot \Delta \tau \end{aligned}$

令 $\Delta \tau \rightarrow 0$

$\lim _{\Delta \tau \rightarrow 0} \frac{[u(t-\tau)-u(t-\tau-\Delta \tau)]}{\Delta \tau}=\frac{\mathrm{d} u(t-\tau)}{\mathrm{d} t}=\delta(t-\tau)$

$\Delta \tau \rightarrow \mathbf{d} \tau, \quad \sum_{\tau=-\infty}^{\infty} \rightarrow \int_{\tau=-\infty}^{\infty}$

$f(t)=\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) \delta(t-\tau) d \tau$

物理意义：

不同连续信号都可分解为冲激信号的叠加，信号不同表明它们的系数不同。

卷积
连续函数卷积的定义：（函数的脉冲分解定义一样么）
$y(t)=\int_{-\infty}^{\infty} x_{1}(\tau) x_{2}(t-\tau) \mathrm{d} \tau$

$y(t)=x_{1}(t) * x_{2}(t)$

性质:
（1）交换律
$x_{1}(t) * x_{2}(t)=x_{2}(t) * x_{1}(t)$
（2）分配律
$x_{1}(t) *\left[x_{2}(t)+x_{3}(t)\right]=x_{1}(t) * x_{2}(t)+x_{1}(t) * x_{3}(t)$
（3）任意函数与冲激函数的卷积等于函数自身
$x(t) * \delta(t)=x(t)$

可得到：
$f(t)=f(t) * \delta(t)$

最后发现，信号的分解其实就是，利用冲击函数 $\delta(t)$的抽样性，用冲击函数对信号进行卷积。

$f(t)=\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) \delta(t-\tau) \mathrm{d} \tau$

零状态响应：
$f(x)$通过 LTI 线性时不变系统，利用特性，叠加，延时。可求得信号 $f(x)$所产生的响应。