前言
近来为准备考研复试,又拾起了大三学的懵懵懂懂的《信号与系统》,看的是MIT的公开课(公开课链接),感觉受益匪浅。
记忆中这门课对脉冲函数的响应和对卷积的研究很多,当初也不知道为什么要研究脉冲函数和卷积,直到最近看了公开课才有一些渐渐明白了,以下是自己的一些理解,如果有不正确的地方欢迎指正与探讨。
LTI系统的性质
对于离散系统,若
y1[n]是对输入
x1[n]的响应,
y2[n]是对输入
x2[n]的响应,那么一个
LTI系统应当满足:
- 可加性:
y1[n]+y2[n]是对输入
x1[n]+x2[n]的响应;
- 齐次性:
ay1[n]是对输入
ax1[n]的响应,此处
a为任意复常数;
- 时不变:
y1[n−k]是对输入
x1[n−k]的响应。
则易证明出:如果
xk[n],k=1,2,3,⋯,是某一个离散时间线性系统的一组输入,其相应的输出为
yk[n],k=1,2,3,⋯,那么这一组输入的线性组合
x[n]=k∑akxk[n]=a1x1[n]+a2x2[n]+⋯
的响应就是
y[n]=k∑akyk[n]=a1y1[n]+a2y2[n]+⋯
脉冲函数与卷积
为了方便研究,我们想要把复杂输入信号
x[n]给分解成简单的信号的加权和,这样,根据线性系统的可加性和齐次性,系统的响应就是这些简单信号的加权和。在《信号与系统》中,对于离散函数,我们主要有两种方法进行分解:
- 卷积:将
x[n]分解为脉冲函数
δ[n]的加权和;
- 离散傅里叶变换(其变体如拉普拉斯变换等):将
x[n]分解为
e−jkw0n的加权和。
我们此处仅讨论卷积的分解方法。在理解卷积之前,要先了解一下脉冲函数
δ[n]。
离散的脉冲函数的定义如下
注意到,函数
δ[n−k](其中
k为正整数)可由函数
δ[n]向右平移
k个单位而得到,例如:
而
δ[n+k]可以由
δ[n]向左平移相应
k个单位长度得到,也就是“左加右减”。
那么,对于一个任意一个离散函数
x[n],我们就可以把它分解为
x[n]=x[0]δ[n]+x[1]δ[n−1]+x[−1]δ[n+1]+⋯
如果想要理解卷积函数的意义,一定要对照下面的分解图理解上式。
通过观察我们可以将式子
x[n]=x[0]δ[n]+x[1]δ[n−1]+x[−1]δ[n+1]+⋯
写为
x[n]=k=−∞∑+∞x[k]δ[n−k]
如果我们将离散函数
f[n]与
g[n]的卷积
p[n]记为
p[n]=f[n]∗g[n],其定义为:
p[n]=k=−∞∑+∞f[k]g[n−k]
对照输入
x[n]的分解式就可以看出,我们将
x[n]进行分解,最终写为了
x[n]与
δ[n]卷积的形式。要理解此处这一卷积的含义,也就是对输入
x[n]的分解。
再回忆起上面所讲到的
LTI系统的性质。若系统对输入
δ[n]的响应为
h[n],那么我们就可以得到系统对
x[n]的响应
y[n]为:
y[n]=k=−∞∑+∞x[k]h[n−k]
可以看出,系统对
x[n]的响应
y[n]也就是输入
x[n]与对脉冲函数响应
h[n]的卷积。换句话说,只要确定了
LTI系统对脉冲函数
δ[n]的响应,我们就能直接由卷积求得系统对任意输入
x[n]的响应
y[n]。这便是《信号与系统》研究脉冲函数和卷积的意义。
结语
以上是对最近学习内容的粗浅理解,并且仅以离散系统举例说明,有时间我会补上对连续系统的解释。如果有不对的地方,欢迎您的指正。