同余式

【定义】任给 $a,b,m\in Z$，如果 $a$和 $b$相差一个 $m$的倍数，即 $m|a-b$，就说 $a$与 $b$模 $m$同余，记为 $a\equiv b\ (\mod m)$，并称 $m$为同余式的模。

这里 $m|a-b$，可表示为 $mq=a-b$，所以 $a=mq+b$.

【定理】任给正整数 $m$，我们有：

1. 整数 $a$与 $b$模 $m$同余当且仅当它们被 $m$除所得的余数相同.
2. 模 $m$同余是 $Z$上的等价关系，即有：

• $a\equiv a \ (\mod\ m)$，（自反性）
• $a\equiv b\ (\mod\ m)\rArr b\equiv a\ (\mod\ m)$，（对称性）
• $a\equiv b\ (\mod\ m)$且 $b\equiv c\ (\mod\ m)$， $\rArr a\equiv c\ (\mod\ m)$，其中 $a,b,c$为任意的整数. （传递性）

3. 设对 $a,b,c,d\in Z$有模 $m$同余式 $a\equiv b\ (\mod\ m)$与 $c\equiv d\ (\mod\ m)$，则 $a+c\equiv b+d\ (\mod\ m)$ $a-c\equiv b-d\ (\mod\ m)$ $ac\equiv bd\ (\mod\ m)$
4. 对于任意的整系数多项式 $P(x)$及整数 $a$与 $b$ $a\equiv b\ (\mod\ m)\Rarr P(a)\equiv P(b)\ (\mod\ m)$

证明：

1. 作带余除法 $a=mu+r$， $b=mv+s$，这里 $u,v\in Z$且 $r,s\in \{0,1,\cdots,m-1\}$.显然 $|r-s|=max\{r,s\}-min\{r,s\}\leq m-1$，于是
   $a\equiv b\ (mod\ m)\Lrarr m|m(u-v)+r-s\Lrarr m|r-s \Lrarr r-s=0 \Lrarr r=s$.
2. 设 $a,b,c\in Z$， $a-a=0$，故 $a\equiv a \ (\mod\ m)$；当 $m|a-b$时亦有 $m|b-a$，故 $a\equiv b\ (\mod\ m)\Lrarr b\equiv a\ (\mod\ m)$； $a\equiv b\ (\mod\ m)$且 $b\equiv c\ (\mod\ m)$， $\Rarr$ $a$与 $b$被 $m$除所得的余数相同且 $b$与 $c$被 $m$除所得的余数相同， $\Rarr$ $a$与 $c$被 $m$除所得的余数相同，即 $a\equiv c \ (\mod\ m)$.
3. 设 $a-b=mq_1,c-d=mq_2$，这里 $q_1,q_2\in Z$，则 $a\pm c=b\pm d+m(q_1\pm q_2)\Rarr a\pm c\equiv b\pm d\ (\mod\ m)$ $ac-bd=a(c-d)+(a-b)d=amq_2+mq_1d=m(aq_2+dq_1)\Rarr ac\equiv bd\ (\mod\ m)$
4. 设 $P(x)=c_0+c_1x+\cdots+c_nx^n$，这里 $c_0,\cdots,c_n\in Z$.假如 $a\equiv b\ (mod\ m)$，反复运用3知，对 $i=0,1,\cdots,n$有 $a^i\equiv b^i\ (mod\ m)$与 $c_ia^i\equiv c_ib^i\ (mod\ m)$，因而 $P(a)=\sum_{i=0}^{n}c_ia^i\equiv \sum_{i=0}^{n}c_ib^i=P(b)\ (\mod\ m)$

剩余类

【定义】 设 $m$为正整数，对于 $a\in Z$，集合 $\{x\in Z:x\equiv a\ (\mod m)\}=\{x=a+mq: q\in Z \}$叫做 $a$模 $m$的剩余类（或同余类）。 全体模 $m$的剩余类构成的集合 $Z_m=Z/mZ$叫做模 $m$的剩余类环。