以下整理自华罗庚文集数论卷Ⅱ(2010年版)
§1 定义
令m为一自然数,若a-b为m之倍数,则谓之“a,b对模m同余(congruent)”。以a≡b(mod m)表示之。
对任二整数a及b,常有a≡b(mod 1)。
§2 同余式之基本性质
定理一 (i)a≡a(mod m) (反身性);
(ii)若a≡b(mod m),则b≡a(mod m)(对称性);
(iii)若a≡b,b≡c(mod m),则a≡c(mod m)(传递性)。
由此三项性质可以分整数为若干类,同类之数皆同余,异类者皆不同余,此项之类,名为同余类。显然,如以m为模,有m个同余类:以m除余1之数为一类,余2之数为一类,等等。每类中各取一数为代表,此代表组名为一完全剩余系。
定理二 若a≡b,a1≡b1(mod m),则a+a1≡b+b1,a-a1≡b-b1(mod m),及a*a1≡b*b1(mod m)
定理二也可改述如次:任与二类A,B,其中各取一代表a及b,命a+b(或a-b,或ab)所代表之类为C。则C仅与A,B有关,而与其所取之代表无关。亦即A,B中各取一数,其和必在C中。故可定义类C为类A类B之和。以C=A+B表之。同样,可以定义A-B及A*B。由定理二也可推得“对模m之诸类,对加减乘自封”,但对除法不一定可能,例如3*2≡1*2,2≡2(mod 4),但3!≡1(mod 4)。故有定理三。
定理三 若ac≡bd(mod m),c≡d(mod m)及(c,m)=1,则a≡b(mod m)。
以O表诸m之倍数所成之类,易知A+O=A,A*O=O。又以I表以m除余1诸数所成之类,易见A*I=A。即由A*B=A*C不一定可得B=C。但A中之数与m为互素(注意:如A中有一数与m互素,则其他诸数也与m互素),则可得B=C。如取m为素数p,则除O之外,其他诸类皆与m互素。故得“对素数p,所有的同余类对加减乘除自封,但行除法时,不能以O去除”。
§3 缩剩余系
前节已述及,若一类A中有一数与m互素,则A中所有数皆与m互素,或迳述为类A与m互素。若类A与m互素,定义B/A,特别以记I/A。例如:
A | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
---|---|---|---|---|---|
A^(-1) | X | 1 | 3 | 2 | 4 |
(mod 5)
A | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
---|---|---|---|---|---|---|
A^(-1) | X | 1 | X | X | X | 5 |
(mod 6)
表中“X”表示“无意义”。
定义 命ψ(m)为m互素之类之个数。此ψ(m)命为Euler函数,在与m互素之诸类中各取一代表,此名为一缩剩余系或简称缩系,例如:ψ(1)=1,ψ(2)=1,ψ(3)=2,ψ(4)=2等等。此ψ(m)也可述为:不大于m且与m互素之正整数之个数。若m=p为素数,则ψ(p)=p-1。
定理一 若为一缩系,及(k,m)=1,则亦为一缩系。
定理二 (Euler) 若(k,m)=1,则。
取m=p,立得Fermat定理。
定理三 若p为素数,则对所有之整数a有次之同余式。