以下整理自华罗庚文集数论卷Ⅱ（2010年版）

§1 整除性

定理一    任与二整数a及b（b>0），必有二整数q及r使a=qb+r,0≤r<b。r名为b除a所得之最小正剩余。

定义    若最小正剩余为0，则a名为b之倍数，换言之，若有一整数c，使得a=bc，则谓b可整除a；a称为b之倍数，b称为a之因数，以b∣a表之，故显然有1∣a，b∣0。对任意a≠0有a∣a。

若a=bc，而b既非a又非1，则b称为a之真因数。

定理二    若b≠0，c≠0，则

    1）若b∣a，c∣b，则c∣a；

    2）若b∣a，则bc∣ac；

    3）若c∣d，c∣e，则对任意的m，n，有c∣dm+en

定理三    若b是a的真因数，则1<∣b∣<∣a∣

§2 素数及复合数

定理一    非1之自然数皆可分解为素数之积（0在书中一开始未被包括在自然数内，但现在0是算作自然数的）

将所得之素因数排成，此式名为n之标准分解式，或标准表示法。

§3 素数

大于1且无真因数之自然数名为素数。

若N并不太大，求小于N之素数，并非难事。有所谓Eratosthenes氏筛法（即埃氏筛法）者。若n≤N，而n非素数，则n必为一不大于之素数整除，先列下所有不超过N之整数：2,3,4,5,6，…，N.

陆续除去：

（i）4,6,8,10，…即由2²起之一切偶数；

（ii）9,15,21,27…即由3²起之一切3的倍数；

（iii）25,35,55,65…即由5²起之一切5的倍数；

……

待不大于之素数之倍数，概行除去以后，所余者即为不大于N之素数。

§4整数之模

模（modulus）者乃对加减自封之一数集。

定理一    1）任何模中必含有0；2）若a，b在模中，则am+bn亦然，m，n为任何整数

定理二    任与二整数a及b，则所有形如am+bn之整数成一模。

定理三    任一非零之模，必为一整数之诸倍数所成之集合。（可用辗转相除法证明）

定义    命a，b为二整数，于定理三中取形如am+bn所成之模，则此定理证明中所之得d名为a，b之最大公因数，以（a,b）表之。

定理四    （a,b）有如下性质：

（i）有整数x，y，使（a,b）=ax+by；

（ii）对任二整数x，y，必有（a,b）∣ ax+by

（iii）若e∣a，e∣b，则e∣（a,b）.

定义    若（a,b）= 1,则a，b谓之互素。

§5 唯一分解定理

定理一    若p为素数且p∣ab，则p∣a，或p∣b.

定理二    若c>0，及（a,b）=  d，则（ac,bc）=  dc.

定理三    n之标准分解式是唯一的。换言之，若不计次序，则n仅能由唯一之方法表为素数之积。（此处证明可顺带说明不视1为素数之道理，因为如果把1视为素数，则在n之标准分解式前，可乘以1之任何次幂，而唯一性被破坏矣）

§6最大公因数及最小公倍数

定理一    命a，b为二正整数，为其素因数，书

                                      ,

则其中

定义    命a，b为二正整数，a，b皆能整除之数，谓之a，b之公倍数；其中之最小正数名为最小公倍数。

定理二    如定理一之假设，a，b之最小公倍数为其中

定理三    a，b之任一公倍数必为其最小公倍数之倍数。

定理四    以[a,b]表a，b之最小公倍数，则[a,b](a,b)=ab.

§7逐步淘汰原则

定理一    设有N件事物，其中件有性质a，件有性质b，…，件兼有性质a及b，…，件兼有性质a，b，r，….则此事物中之既无性质a，又无性质b，又无性质r，…者之件数为

今应用此原则：“性质a”视为“不大于a”，…，可得：

定理二    若a，b，…，k，l为任意非负之数，则

              max(a,b,…,k,l)=a+b+…+k+l-min(a,b)…-min(k,l)+min(a,b,c)+…-…+…±min(a,b,…k,l).