华罗庚文集数论卷Ⅱ 一、整数之分解（二）

以下整理自华罗庚文集数论卷Ⅱ（2010年版）

蓝色字体来源于百度百科

§8 一次不定方程之解

定理一方程ax+by=n有整数解x，y的必要且充分之条件为(a,b)∣n。

定理二若(a,b)=1，且 $x_0$ ， $y_0$ 为ax+by=n（1）之一解（此解之存在无问题），则（1）式之解皆可表为 $x=x_0+bt$ ， $y=y_0-at$ 。且对任何整数t，此皆（1）式之解。

定理三设(a,b)=1，a>0，b>0,。凡大于ab-a-b之数必可表为 $ax+by(x\geq 0,y\geq 0)$ 之形。但ab-a-b不能表成此形。该定理亦可述为：若a>0，b>0，(a,b)=1，则ab-a-b为最大之整数不能由 $ax+by(x\geq 0,y\geq 0)$ 表出者。

§9 完全数

定理一命σ(n)为n之诸因数之和。若 $n=p_1^{a_1}\cdots p_s^{a_s}$ ，则 $\sigma(n)=\frac{p_1^{a_1+1}-1}{p_1-1}\cdots \frac{p_s^{s_s+1}-1}{p_s-1}$ 。

定理二若(n,m)=1，则 $\sigma (nm)=\sigma(m) \sigma (n)$ 。此种σ(n)乃所谓数论函数之一种。附言：数论函数之有定理二之性质者，谓之积性函数（multiplicative function）。

定义若σ(n)=n，则n谓之完全数。例如：6=1+2+3，28=1+2+4+7+14

定理三若 $p=2^{n}-1$ 为素数，则 $\frac{1}{2}p(p+1)=2^{n-1}(2^{n}-1)$ 乃一完全数，且无其他偶完全数存在

大数学家欧拉曾推算出完全数的获得公式：如果p是质数，且2^p-1也是质数，那么（2^p-1）X2^（p-1）便是一个完全数。

例如p=2，是一个质数，2^p-1=3也是质数，（2^p-1）X2^（p-1）=3X2=6，是完全数。

例如p=3，是一个质数，2^p-1=7也是质数，（2^p-1）X2^（p-1）=7X4=28，是完全数。

例如p=5，是一个质数，2^p-1=31也是质数，（2^p-1）X2^（p-1）=31X16=496是完全数。

当2^p-1是质数的时候，称其为梅森素数

§10 Memsenne数及Fermat数

定理一若n>1，且 $a^{n}-1$ 为素数，则a=2，及n为素数。

证：若a>2，则 $(a-1)\mid (a^{n}-1)$ ，故 $a^{n}-1$ 非素数。

若a=2而n=kl，则 $(2^{k}-1)\mid (a^{n}-1)$ 。

故 $2^{n}-1$ 为素数之问题，今已化为 $2^{p}-1$ 为素数之问题。命 $M_p=2^{p}-1$ 。迄今所已证明之结果为：当p=2，3，5，7，13，17，19，31，61，89，107，127，521，607，1279，2203，2281时 $M_p$ 为素数，即Memsenne数（梅森素数）；

定理二若 $2^{m}+1$ 为素数，则 $m=2^{n}$ 。

命 $F_n=2^{2^{n}}+1$ 。此名为Fermat数（费马数）。最前五个素数是3，5，17，257，65537。费马素数对分圆问题，甚有用处。

§11 连乘积中素因数之方次数

定理一命p为一素数。于n！中p之方次数等于 $[\frac{n}{p}]+[\frac{n}{p^{2}}]+[\frac{n}{p^{3}}]+\cdots$ 。此级数中仅有有限项不等于0。

证：于 $n!=1\cdot 2\cdots (p-1)\cdot p\cdot (p+1)\cdots 2p \cdots (p-1)p\cdots p^{2}\cdots \cdot \cdots$ 中有 $[\frac{n}{p}]$ 个p之倍数，有 $[\frac{n}{p^{2}}]$ 个 $p^2$ 之倍数，等等。故得定理。

定理二命 $\binom{n}{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}$ 。此为一整数。

$[\alpha ]-[\beta ]=[\alpha -\beta ]$ 或 $[\alpha -\beta ]+1$ 。由定理一，于 $\binom{n}{r}$ 中p之方次数为 $\sum ([\frac{n}{p^{m}}]-[\frac{n}{r^{m}}]-[\frac{n-r}{p^{m}}])$ 。

§12整值多项式

定义当变数x为整数时，若一多项式f(x)之值常为整数，则此多项式谓之整值多项式。

例如：整系数之多项式为整值多项式，又如 $\binom{x}{r}=\frac{x(x-1)\cdots(x-r+1) }{r!}$ 亦为整值多项式。

以Δf(x)表f(x+1)-f(x)，则有

定理一 $\Delta \binom{x}{r}=\binom{x}{r-1}$

定理二凡k次之整值多项式必可表成 $a_k\binom{x}{k}+a_k_-_1\binom{x}{k-1}+\cdots +a_1\binom{x}{1}+a_0$ ;式中 $a_k,\cdots ,a_0$ 皆为整数。且对任何整数 $a_k,\cdots ,a_0$ ，此皆整值多项式。

定理三对任意整数x，一整值多项式f(x)之值皆为m之倍数之必要且充分条件为 $m|(a_k,\cdots ,a_0)$ ；此处 $a_k,\cdots ,a_0$ 之意义如定理二。

定理四（Fermat）命p为一素数，对任一整数x， $x^{p}-x$ 必为p之倍数。

§13整值多项式

定理一命g(x)及h(x)为二整系数多项式： $g(x)=a_lx^l+\cdots +a_0,a^l\neq 0,$ , $h(x)=b_mx^m+\cdots +b_0,b^m\neq 0,$ 及 $g(x)h(x)=c_l_+_mx^{l+m}+\cdots +c_0$ 。则 $(a_l,\cdots ,a_0)(b_m,\cdots ,b_0)=(c_{l+m},\cdots ,c_0)$ 。