$\Large\fbox{\textcolor{red}{阅读本文需要至少初中的数学知识}}$

阅读本文前请先阅读此文《终结篇》全体自然数的和等于-1/12???我觉得我还可以再抢救一下

这一切的一切都要从质数讲起

质数是什么？
在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的数。
人们在一开始研究质数时，就想：质数的个数是有限的还是无限的？
这个问题最早是欧几里得研究出来的，他利用反证法证明了质数是无限的多个的。

我们来看一下他的证法：
假设素数是有限的,假设素数只有有限的 $n$个,最大的一个素数是 $p$
设 $q$为所有素数之积加上1,那么, $q = ( 2 * 3 * 5 * …… * p )+ 1$不是素数
那么, $q$可以被 $2、3、……、p$中的数整除
而 $q$被这 $2、3、……、p$中任意一个整除都会余 $1$,与之矛盾
所以,素数是无限的。

$\textcolor{red}{评价：很简洁，很美。}$

好，研究完这个问题后，中世纪的数学家就开始颓废了。

直到他，欧拉出现了

欧拉把质数的研究又推进了一大步。
在我的文章《终结篇》全体自然数的和等于-1/12???我觉得我还可以再抢救一下中提到了欧拉研究的一个级数。
$\Large \varepsilon(s)=\frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\cdots$
他在研究这个问题时得到了欧拉乘积公式(p为全体质数)：
$\begin{aligned}\Large \varepsilon(s)&=\prod\limits_p(1-p^{-s})^{-1}\\[2ex] &=\frac{1}{1-\frac{1}{2^s}}\times\frac{1}{1-\frac{1}{3^s}}\times\frac{1}{1-\frac{1}{5^s}}\times\cdots \end{aligned}$
其实他还发现一件事：
他用 $\pi(x)$表示小于 $x$的质数个数
$\large\pi(x)\approx\frac{x}{ln(x)}$
搞完这些，他就开始颓废了。
通过这些我们发现 $\varepsilon$和质数有很大的关系，又因为黎曼函数 $\zeta$就是上面的级数解析延拓之后的函数。所以我们可以猜想黎曼函数与质数也有关系。实际上它们之间有很大的关系。（不然怎么有黎曼猜想呢）

高斯

高斯在15岁时算出了质数分布的密度：
$\Large\rho(x)\approx\frac{1}{ln(x)}$
然后他就下场了。

接下来的辉煌属于素数定理

素数定理是啥？这其实和欧拉的 $\pi(x)$有关
$\large\pi(x)=\int_c^x\frac{dt}{ln(t)}+C$
我们不用管他是什么，我们只要知道这个定理说明不大于x的质数的个数我们是可以通过一个积分进行求解的。
其实当时这还是一个猜想，那为什么成为定理了？
因为过了100多年，有一个数学家在研究黎曼猜想时顺便把它证出来了，可见黎曼猜想与质数的关系有多么密切。

那么C是多少

科赫说：如果黎曼猜想被证实，那么
$\large C∽\sqrt{n}\ ln(x)$
意思就是C可以缩小到这样一个范围。

《论小于某值的素数个数》

接下我们的主角黎曼终于要登场了。
黎曼在1895年发表了论文《论小于某值的素数个数》把黎曼欧拉研究的级数进行了解析延拓，我们之前说过它：
$\Large\zeta(s)=\frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\cdots$
在欧拉的时代他认为 $s>1且s\in R$才行。但后来人们发现其实只要它是复数也可以只要 $Re(s)>1$就行。
但黎曼就是黎曼啊，他闲得蛋疼(其实不是)又把它进行了解析延拓并说s的实部小于1也行。他解析延拓成什么样了呢？我们来欣赏一下：
$\Large\zeta(s)=\frac{1}{2\pi i}\varGamma(1-s)\oint_r\frac{z^{s-1}e^{z}}{1-e^z}dz$
太美了
我们不用管他是什么（我不会告诉你们我也不知道它是啥）我们只要知道现在s的范围延拓到了： $s\neq1,s\in C$
等一下，你问我复数是什么？那看一下这篇一般人都能看懂的文章吧
看这里

令 $\zeta(s)=0$

黎曼说啊，我令 $\zeta(s)=0$，那么它就会有一些根对吧。
黎曼算出有很多根是非常平凡的，我们称之为平凡零点。平凡零点在哪呢？就是：
$\Large s=-2n$
而n则是：
$\Large1,2,3,4,5,\dots$
正所谓有光明就有黑暗，那么有平凡零点，那就有非平凡零点。但黎曼好懒啊，他一个都没算，但他说非平凡零点肯定是存在的。

黎曼猜想

根据上面这些鬼东西，我们的黎曼大神提出了三个命题：
第一个命题，黎曼指出了非平凡零点的个数，且十分肯定其分布在实部大于0但是小于1的带状区域上。
第二个命题，黎曼提出所有非平凡零点都几乎全部位于实部等于1/2的直线上。
第三个命题，黎曼用十分谨慎的语气写到：很可能所有非平凡零点都全部位于实部等于1/2的直线上。这条线，从此被称为临界线。
$\large\textcolor{red}{而最后这个命题，就是让后世数学家如痴如醉且寝食难安的黎曼猜想。}$
第一个命题人们已经证明了，随后人们用手、计算机、超级计算机计算非平凡零点的值。目前已经计算了10万亿个且全部符合黎曼的猜想。

盘它！

在2018年9月24日阿蒂亚爵士视频直播证明黎曼猜想，目前他的论文正在被由世界顶级数学家组成的论证小组审核中。