期望线性性

\(E(x+y)=E(x)+E(y)\) 任意x,y
\[E(x+y)=\sum_i \sum_j P(x=i,y=j)(i+j)\]
\[\sum_i \sum_j P(x=i,y=j) i\]

\[=\sum_i i P(x=i)\]

j同理

得到
\[\sum_iiP(x=i)+\sum_jjP(x=j)\]

\[=\sum_i \sum_j P(x=i,y=j) i+\sum_i \sum_j P(x=i,y=j) j\]

\[\sum_i \sum_j P(x=i,y=j)(i+j)\]

\[=E(x+y)\]

最大值不超过Y的期望

\[E(y)=\sum_i i P(y=i)\]

\[=\sum_i i (P(y<=i) - P(y<=i-1))\]

\[=\sum_i i((\frac{i}{s})^n-(\frac{i-1}{s})^n)\]

概率为\(P\)，\(\frac{1}{p}\)次后发生

设X为次数

即证明\(E(x)=\frac{1}{p}\)

解一、\[P(x=i)=(1-p)^{i-1}*p\]
解二、\[P(x>=i)-P(x>=(i+1))=(1-p)^{i-1}*p\]

只用管前几次都失败了

\[P(x>=i)= (1-p)^{i-1}\]

\[\sum _{i=1}^{inf} ((1-p)^{i-1} -(1-p)^{i})*i\]

对于每个\((1-p)^i\)，只有两个，一个系数i，一个系数i+1
即原式等于

\[\sum_{i=0}^{inf} (1-p)^{-i}\]

\[\frac{1}{1-(p-1)}\]

\[=\frac{1}{p}\]

放回与不放回

\[E(s)=\sum _i E(xi) = E(\sum _i yi*i) =\sum _iE(yi*i)\]

也即

\[E(s)=T*\sum_i E(i) = \frac{m*(n+1)}{2}\]

\[T=\sum E(yi)=m\]
感性理解：每个球没有区别

做期望题先找等价点，设置若干问题，再找不同点间E关系（只推下一步）解方程
或者设置一种，把所有情况推完

链上游走，从一端到另一端的期望步数
\[E(y)=\sum _{i=1}^{n-1}Xi\] Xi为随机游走i第一次走到i+1步数
\[E(y)=\sum _{i=1}^{n-1}E(Xi)\]
\[E(x2)=1/2+1/2*(1+E(X1)+E(X2))\]
\[E(xi)=1/2+1/2*(1+E(Xi-1)+E(Xi))=E(Xi-1)+2\]
\[E(y)=\sum _{i=1}^{n-1}E(Xi)=1+3+5+7+9+...=(n-1)^2\]
完全图上游走，一个点到另一点的期望步数
\(1/n-1\)概率成功（每次都能走到其他每个点）
跟抛硬币差不多，即每次\(1/n-1\)抛到正面，期望步数即为n-1
2n点完全二分图上游走，一个点到另一点的期望步数
A：到同侧点步数
B：异侧点
\(B=1/n+1+n-1/n*(B+2)\)
\(A=(1+B)\)
n点菊花图游走，根到x的期望步数
\(E=1/(n-1)+(n-2)/(n-1)*(2+E)\)
\(E/(n-1)=(2n-1)/(n-1)\)
\(E=(2n-1)\)
n点树上游走，x->y求期望步数
以y为根
f(x)从x第一次到x父亲
d[x] x度数
\(f(x)=1/d[x]+1/d[x]*\sum_{i-1}^{d[x],i!=fa[x]}(1+f(son[x]+f(x))\)
然后瞎JB搞DP
构造200个点无向图，使得S到T期望 \(\ge1000000\)
E1要是O(n^2)，搞100的链

每次随机⼀个 [1,n] 的整数，问期望⼏次能凑⻬所有数
\[\sum_i n/i\]
每次设已经抽出\(n-1\)个，要抽出没抽过的，成功概率\((n-i+1)/n\),期望次数为\(n/(n-i+1)\)
随机⼀个⻓度为 n 的排列p，求 p[1…i] 中 p[i] 是最⼤的数的概率
\[1/i\]
问满⾜上⾯那个题的 i 的个数的平⽅的期望
\[\sum_{i!=j}1/ij+\sum_i 1/i\]
随机⼀个⻓度为 n 的排列 p，求 i 在 j 的后⾯的概率
\[\frac{1}{2}\]
随机⼀个⻓度为 n 的排列 p，求它包含 w[1…m] 作为⼦序列/连续⼦序列的概率
\[\frac{1}{m!}*(n-m+1)\]
\[\frac{1}{m!}*C^n_m\](大概？
有 n 堆⽯头，第 i 堆个数为 a[i]，每次随机选⼀个⽯头然后把那⼀整堆都扔了，求第 1 堆⽯头期望第⼏次被扔
\[1+\sum_{i=2}^nP(A[i]<A[1])\]
\(P(A[i]<A[1])=a[i]/(a[i]+a[1])\)
随机⼀个⻓度为 n 的01串，每个位置是 1 的概率是 p ，定义 X 是每段连续的 1 的⻓度的平⽅之和，求E[X]
给⼀个序列，每次随机删除⼀个元素，问 i 和 j 在过程中相邻的概率、

即为\(i~j\) 中间的数排列，i,j在最后的方案数
\[(j-i-1)!*2/(j-i+1)!\]
\[=2/(j-i)*(j-i+1)\]