概率/期望 [线性性质]

前言

由于我其实并不知道线性性质到底是什么，所以按照自己的感觉把所有我觉得是线性性质解决的题目丢了进来。
那么来看题吧。

题目

BZOJ2698

独立考虑每个格子被刷到的概率。然后为了方便考虑k次操作以后这个格子不被刷到的概率，然后就要求1次操作以后这个格子不被刷到的概率，再为了方便[?],统计有多少种合法方案通过当前点x，记做sum，那么这个点1次操作之后被刷到的概率就是sum/tot，tot为总得合法方案数。
然后这个时候问题就完美的解决啦。
至于计算sum和计算tot的方法，其实是怎么暴力怎么来就好了。
Tag：快速幂，计算贡献

这个分类讨论恶心到我了赔钱。[?]
简单来说就是单独考虑一个方块在k次操作后被染色1的概率，但是这个比较麻烦所以求k次操作之后不被染色的概率比较方便。那么不被染色的概率怎么求呢，就是一次不被染色的概率^K，那么一次不被染色的概率怎么求呢。
虽然应该也有别的方法可以求但是可以在这个时候再转回来求一次被染色的概率是多少，那么就是要求矩形覆盖了当前这个点。那么进行分类讨论求出覆盖当前点的方案数，除以总方案数就是概率。
Tag:快速幂，计算贡献

BZOJ1989

图是一棵树。其实大概是计数问题吧。
某一段是奖励线路的一部分的方案数量*某一段是免费路径的方案数量。
最后再除以一个总方案数量就好了。
意外简单的树形计数问题？
令 $cnt_x$ 表示以x为根的子树有多少个节点，那么答案就是

(\sum_{x = 1}^{n} (c n t_{x} * (n - c n t_{x}))^{2}) / (n * (n - 1) / 2)^{2}

$(\sum _{x=1}^n (cnt_x*(n-cnt_x))^2)/(n*(n-1)/2)^2$

Tag：计数问题

BZOJ4481

首先想到的是考虑编号从小到大的女性，考虑能与之配对的编号从小到大的男性。
考虑之前的女性配对的男性有多少个编号比当前大的，统计进入答案。这个东西是可以通过一个线段树或者树状数组来维护的。[好像我线段树写的太臭所以TLE了qwq]

然后唯一需要考虑的就只剩下了当前这个女性和某一个男性配对的概率是多少。
可以很容易发现这是一个等比数列求和，并且这个等比数列有无数项。
假设当前要配对的男性在女性得配对列表中的编号排名为rk，一共有sz个人在列表内，那么

\sum_{i = 0}^{\infty} (1 - p)^{r k + s z * i} * p

$\sum _{i=0}^{\infty}(1-p)^{rk+sz*i}*p$
然后用等比数列的求和公式瞎搞一下就解决啦。
Tag：数学，BIT

小结

大概是对于某一些部分单独考虑贡献计入答案这样的做法。
但是可能会有一些和别的知识点结合在一起的题目，不过总的来说，就是单独考虑所有贡献的意思？
这里写图片描述