一睹敦爷真容 哇
-----------------------------------分割线-----------------------------------

前置芝士

定义 ： 随机变量 概率 期望

几个重要的式子
\((1 - x) \sum^{n}_{i = 0} x^i = 1 - x ^ {n + 1}\)

\(\sum^{inf}_{i = 0} x^i = \frac{1}{1 - x}\)

\(\sum^{n}_{i = 0} x^i = \frac{1 - x^{n + 1}}{1 - x}\)

\(E(XY) = E(X)E(Y)\)

期望的线性性：
\(E(X + Y) = E(X) + E(Y)\)
注意 这个式子虽然对事件没有要求 但是两个事件对期望的贡献必须是独立的
接下来的经典问题部分会有提及

-----------------------------------分割线-----------------------------------

技巧

• 一、前缀和技巧

对于离散变量X，有P(x == K) = P(x \leq K) - P(x \leq K - 1) = P(x \geq K) - P(x \geq K + 1)

用后者可证明一个重要结论
对于一件发生概率为P的事件，反复横跳直到发生的期望次数是\(\frac{1}{P}\)
证明类似时把式子展开 前后项消一下 用第二个公式即可（有时间填坑）

• 二、拿球问题

对于等价的问题 可以感性理解 概率均等

• 三、经典问题

直接贴课件了。。

答案：
1、\(\sum^{n}_{i = 1} \frac{n}{i}\)

2、\(\frac{1}{i}\)

3、\(\sum^{n}_{i = 1}\sum^{n}_{j = 1, j != i} \frac{1}{ij} + \sum^{n}_{i = 1} \frac{1}{i}\)

4、\(\frac{1}{2}\)

5、(1) \(\frac{\tbinom{n}{m} (n - m)}{n!} = \frac{1}{m!}\)

(2)\(\frac{(n - m + 1)(n - m)!}{n!}\)

6、\(1 + \sum^{n}_{i = 2}\frac{a[i]}{a[1] + a[i]}\)

7、$$

8、\(\frac{2}{(j - i + 1)(j - i)}\)

9、

10、