挡板法即在n个元素(n-1个空)中插入k-1个板子,把这n个元素分成k组,方案数为$C_{n-1}^{k-1}$
例1:
把10个相同的小球放入3个箱子,每个箱子至少一个,问有几种情况?
或求方程 x+y+z=10的正整数解的个数
答案:$C_{10-1}^{3-1}$=$C_{9}^{2}$
例2:
把10个相同的小球放入3个箱子,每个箱子可以不放,问有几种情况?
或求方程 x+y+z=10的非负整数解的个数
我们假设给每个箱子各添一个球,问题就转化为与例1相同的问题:
把13个相同小球放入3个不同箱子,每个箱子至少一个,有几种情况?
答案:$C_{12}^{2}$
好了,进入正题:(体会思想)
添元素挡板法
例3:
把10个相同小球放入3个不同箱子,第一个箱子至少1个,第二个箱子至少3个,第三个箱子可以不放球,有几种情况?
先给第3个箱子添一个球,再从10个球中拿出2个放入第1个箱子,则问题又转化为例1:
把9个(10+1-2)相同小球放入3个不同箱子,每个箱子至少一个,有几种情况?
答案:$C_{8}^{2}$
例4:
将20个相同的小球放入编号分别为1,2,3,4的四个盒子中,要求每个盒子中的球数不少于它的编号数,求放法总数。(减少球数用隔板法)
先从20个球中拿出6个分为1,2,3个分别放在2,3,4四个盒子内,则问题变为(又是例1):
把14个相同小球放入4个不同箱子,每个箱子至少一个,有几种情况?
答案:$C_{13}^{3}$
例5:
有一类自然数,从第三个数字开始,每个数字都恰好是它前面两个数字之和,直至不能再写为止,如257,1459等等,这类数共有几个?
性质:(1)前两位确定一个数 (2)设前两位为a,b,则a+b<=9,且a不为0
所以只需要找前两位满足(2)的有几种情况
然后我就错误的把问题转化为:把9分成两部分,前一部分>=1,后一部分可为0 ==> 把9个小球放入两个箱子,第一个至少一个,第二个可以不放 ==> 变为例3,答案$C_{9}^{1}$ 想想这题和例3有什么区别? 嗯,例3必须把10个小球全部放入,而本题是<=9
所以怎么做?
想法1:我们添一个
添板挡板法