反证法

• 基本概念：
  一般地，假设原命题不成立（即 在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。

• 基本操作：
  1. 分清命题p=>q的条件和结论；
  2. 做出与命题结论q相矛盾的假定┐q；
  3. 由p和┐q出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；

  4. 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作假定┐q不真，于是原结论q成立，从而间接地证明了命题p=>q为真。

     第三步所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与已知条件、定义、定理或临时假定矛盾、以及自相矛盾等。

• 适用性：
  适用于“正难则反”的证明题
  凡是“至少”、“唯一”或含有否定词的命题适宜用反证法。

数学归纳法

• 基本概念：
  从初始情况，逐渐递推出n的结论。
• 基本操作：
  一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
  1. （归纳奠基）证明当n取第一个值\(n_0\)时命题成立；
  2. （归纳递推）假设n=k(k≥\(n_0\))时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
     只要完成上面两个步骤，即可断定（递推出）命题从\(n_0\)开始的所有正整数n都成立。
• 注意：
  用数学归纳法证明命题时，需注意：
  1. 第一步是基础，首先要验证n=\(n_0\)时成立，注意\(n_0\)不一定为1；
  2. 第二步是依据，在第二步中，关键是要正确合理地运用归纳假设，尤其要弄清k到k+1的变化，两个步骤缺一不可，且书写必须规范。
• 适用性：
  只适用于与正整数n有关的命题的证明方法
• 补充：
  用数学归纳法还可以解决数列中的归纳猜想问题，基本步骤是：观察、归纳、猜想、证明，一般要根据已知条件和递推关系，先求出数列的前几项，然后总结归纳其中的规律，猜想结论，再利用数学归纳法证明。猜想是证明的前提和对象，因此务必保持猜想的正确性，同时注意数学归纳法的书写步骤。