本博客是学习MIT-线性代数笔记，Gilbert Strang大神讲的通俗易懂，感兴趣的可以观看视频

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一、消元

　现在我们有一个方程组，如何求解呢？消元法是个不错的方法：

$\begin{array}{c}{x+2 y+z=2} \\ {3 x+8 y+z=12} \\ {4 y+z=2}\end{array}$

　我们用矩阵形式来表示上面的方程组：

$A=\left|\begin{array}{lll}{1} & {2} & {1} \\ {3} & {8} & {1} \\ {0} & {4} & {1}\end{array}\right|$

$b=\left|\begin{array}{c}{2} \\ {12} \\ {2}\end{array}\right|$

$x=\left|\begin{array}{l}{x} \\ {y} \\ {z}\end{array}\right|$

　要求解方程组，也就是我们需要获取一个向量$x$，使得：

$Ax=b$

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　如何进行消元呢？ 消元的目的就是把矩阵$A$变成上三角矩阵$U$：

$A=\left|\begin{array}{lll}{1} & {2} & {1} \\ {3} & {8} & {1} \\ {0} & {4} & {1}\end{array}\right|$ ===》（第二行减去第一行乘以3）$\left|\begin{array}{lll}{1} & {2} & {1} \\ {0} & {2} & {-2} \\ {0} & {4} & {1}\end{array}\right|$ ===》（第三行减去第二行乘以2）$U=\left|\begin{array}{ccc}{1} & {2} & {1} \\ {0} & {2} & {-2} \\ {0} & {0} & {5}\end{array}\right|$

注意：这里的1，2，5是主元，消元的过程中主元不能是0

　对向量$b$执行相同的操作：

$b=\left|\begin{array}{c}{2} \\ {12} \\ {2}\end{array}\right|$ ===》（第二行减去第一行乘以3）$\left|\begin{array}{c}{2} \\ {6} \\ {2}\end{array}\right|$ ===》（第三行减去第二行乘以2）$c=\left|\begin{array}{c}{2} \\ {6} \\ {-10}\end{array}\right|$

经过消元，其实我们获得下面的方程组：

$\begin{aligned} x+2 y+z &=2 \\ 2 y-2 z &=6 \\ 5 z &=-10 \end{aligned}$

　然后回代：

$5z=-10$，所以$z=-2$，从而求得$x=\left|\begin{array}{c}{2} \\ {1} \\ {-2}\end{array}\right|$