制作者:陕西省凤翔中学 王海
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关于用导数法判断函数的单调性问题,教材上所举例子是通过解不等式[从数的角度]求解导函数的正负,从而判断原函数的单调性,所以学生就依葫芦画瓢,碰到这类问题都这样做,但是他会发现在高三中的大多数同类题目都不能求解,思路自然会受阻而放弃,其实只需要老师做这样的引导:
思考方法和途径:先求定义域,解得\(f'(x)\),
其一,令\(f'(x)>0\)或\(f'(x)<0\),看能不能从数的角度突破,如果可以就通过解不等式得到单调区间;
其二,如果\(f'(x)>0\)不能解再看是否可以考虑从形的角度入手分析,做出导函数的图像或其部分图像,从而得到单调区间;
其三,如果以上都行不通,不妨考虑通过求二阶导来判断一阶导的正负,从而知道单调性。
储备待用
以下的知识点在用导数法判断单调性时很可能会用到,请大家逐个复习回顾。
①常见的初等函数的动态图像,需要理解掌握。
- \(f(x)=e^x+a\);\(f(x)=(x+1)(x+m)\);\(f(x)=ln(x+a)\);\(f(x)=x^2+a\);\(g(x)=a\cdot x^2\);\(h(x)=a\cdot e^x\);
②用导函数的部分图像判断导函数的正负的原理解释:
说明:假定某函数的导函数为\(f’(x)=e^x(x-1)(x-2)\),则其图像和\(y=(x-1)(x-2)\)的图像在解释单调性上是一样的,故我们可以借助更简单和更熟悉的二次函数\(y=(x-1)(x-2)\)的图像来解决问题。
③求导法则和常用求导公式,复合函数的求导法则;
④用图读图能力;
⑤整体和部分的转化意识;
⑥分类讨论的技巧;先简单后复杂;
案例解析
(1)讨论\(f(x)\)的单调性;
分析:利用导数求导解决,
\(f'(x)=e^x(e^x-a)+e^x\cdot e^x-a^2=\)\(2e^{2x}-e^xa-a^2=(e^x-a)\cdot (2e^x+a)\),
以下针对\(a\)分类讨论如下:
当\(a=0\)时,\(f'(x)>0\)恒成立,\(f(x)\)在区间\((-\infty,+\infty)\)上单调递增。
当\(a>0\)时,令\(e^x>a\),解得\(x>lna\),\(f'(x)>0\),即在区间\((lna,+\infty)\)上函数\(f(x)\)单调递增;
令\(e^x<a\),解得\(x<lna\),\(f'(x)<0\),即在区间\((-\infty,lna)\)上函数\(f(x)\)单调递减;
当\(a<0\)时,令\(e^x>-\cfrac{a}{2}\),解得\(x>ln(-\cfrac{a}{2})\),\(f'(x)>0\),即在区间\((ln(-\cfrac{a}{2}),+\infty)\)上函数\(f(x)\)单调递增;
令\(e^x<-\cfrac{a}{2}\),解得\(x<ln(-\cfrac{a}{2})\),\(f'(x)<0\),即在区间\((-\infty,ln(-\cfrac{a}{2}))\)上函数\(f(x)\)单调递减;
综上所述,当\(a<0\)时,函数\(f(x)\)的单减区间是\((-\infty,ln(-\cfrac{a}{2}))\),单增区间是\((ln(-\cfrac{a}{2}),+\infty)\);
当\(a=0\)时,单增区间是\((-\infty,+\infty)\),无单减区间;
当\(a>0\)时,函数\(f(x)\)的单减区间是\((-\infty,lna)\),单增区间是\((lna,+\infty)\);
解后反思
数形结合思想是高中数学中一种重要的数学思想,当从数的角度不能顺利解决题目时,我们可以考虑从形的角度入手分析思考,这既是学习数学的需要,也体现了我们的数学应用素养。