制作者：陕西省凤翔中学 王海
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关于用导数法判断函数的单调性问题，教材上所举例子是通过解不等式[从数的角度]求解导函数的正负，从而判断原函数的单调性，所以学生就依葫芦画瓢，碰到这类问题都这样做，但是他会发现在高三中的大多数同类题目都不能求解，思路自然会受阻而放弃，其实只需要老师做这样的引导：
思考方法和途径：先求定义域，解得\(f'(x)\)，
其一，令\(f'(x)>0\)或\(f'(x)<0\)，看能不能从数的角度突破，如果可以就通过解不等式得到单调区间；
其二，如果\(f'(x)>0\)不能解再看是否可以考虑从形的角度入手分析，做出导函数的图像或其部分图像，从而得到单调区间；
其三，如果以上都行不通，不妨考虑通过求二阶导来判断一阶导的正负，从而知道单调性。
储备待用
以下的知识点在用导数法判断单调性时很可能会用到，请大家逐个复习回顾。
①常见的初等函数的动态图像，需要理解掌握。
- \(f(x)=e^x+a\)；\(f(x)=(x+1)(x+m)\)；\(f(x)=ln(x+a)\)；\(f(x)=x^2+a\)；\(g(x)=a\cdot x^2\)；\(h(x)=a\cdot e^x\)；
②用导函数的部分图像判断导函数的正负的原理解释：
说明：假定某函数的导函数为\(f’(x)=e^x(x-1)(x-2)\)，则其图像和\(y=(x-1)(x-2)\)的图像在解释单调性上是一样的，故我们可以借助更简单和更熟悉的二次函数\(y=(x-1)(x-2)\)的图像来解决问题。
③求导法则和常用求导公式，复合函数的求导法则；
④用图读图能力；
⑤整体和部分的转化意识；
⑥分类讨论的技巧；先简单后复杂；
案例解析
（1）讨论\(f(x)\)的单调性；
分析：利用导数求导解决，
\(f'(x)=e^x(e^x-a)+e^x\cdot e^x-a^2=\)\(2e^{2x}-e^xa-a^2=(e^x-a)\cdot (2e^x+a)\)，
以下针对\(a\)分类讨论如下：
当\(a=0\)时，\(f'(x)>0\)恒成立，\(f(x)\)在区间\((-\infty，+\infty)\)上单调递增。
当\(a>0\)时，令\(e^x>a\)，解得\(x>lna\)，\(f'(x)>0\)，即在区间\((lna，+\infty)\)上函数\(f(x)\)单调递增；
令\(e^x<a\)，解得\(x<lna\)，\(f'(x)<0\)，即在区间\((-\infty，lna)\)上函数\(f(x)\)单调递减；
当\(a<0\)时，令\(e^x>-\cfrac{a}{2}\)，解得\(x>ln(-\cfrac{a}{2})\)，\(f'(x)>0\)，即在区间\((ln(-\cfrac{a}{2})，+\infty)\)上函数\(f(x)\)单调递增；
令\(e^x<-\cfrac{a}{2}\)，解得\(x<ln(-\cfrac{a}{2})\)，\(f'(x)<0\)，即在区间\((-\infty，ln(-\cfrac{a}{2}))\)上函数\(f(x)\)单调递减；
综上所述，当\(a<0\)时，函数\(f(x)\)的单减区间是\((-\infty，ln(-\cfrac{a}{2}))\)，单增区间是\((ln(-\cfrac{a}{2})，+\infty)\)；
当\(a=0\)时，单增区间是\((-\infty，+\infty)\)，无单减区间；
当\(a>0\)时，函数\(f(x)\)的单减区间是\((-\infty，lna)\)，单增区间是\((lna，+\infty)\)；
解后反思
数形结合思想是高中数学中一种重要的数学思想，当从数的角度不能顺利解决题目时，我们可以考虑从形的角度入手分析思考，这既是学习数学的需要，也体现了我们的数学应用素养。