这次讨论的是关于Jacobi正交多项式的零点计算问题，谷歌学术里面可以搜索到很多相关学术文章。由于近期在Galerkin-Spectral方法中经常使用Jacobi正交多项式，所以整理了一些相关的技巧。

Jacobi正交多项式的递推公式：

$J_0^{\alpha,\beta}(x)=1$, $\quad J_1^{\alpha,\beta}(x)=\frac12 (\alpha+\beta+2)x+\frac12(\alpha-\beta),$

$J_{n+1}^{\alpha,\beta}(x)=\Big(a_n^{\alpha,\beta}x-b_n^{\alpha,\beta}\Big)J_{n}^{\alpha,\beta}(x)-c_{n}^{\alpha,\beta}J_{n-1}^{\alpha,\beta}(x),\quad n\geq 1.$

其中

$a_n^{\alpha,\beta}=\frac{\big(  2n+\alpha+\beta+1 \big)\big(  2n+\alpha+\beta+2 \big)}{2\big(  n+1 \big)\big(  n+\alpha+\beta+1 \big)},$

$b_n^{\alpha,\beta}=\frac{\big(  \beta^2-\alpha^2 \big)\big(  2n+\alpha+\beta+1 \big)}{2\big(  n+1 \big)\big(  n+\alpha+\beta+1 \big)\big(  2n+\alpha+\beta\big)},$

$c_n^{\alpha,\beta}=\frac{\big(  n+\alpha \big)\big(  n+\beta\big)\big(  2n+\alpha+\beta+2 \big)}{\big(  n+1 \big)\big(  n+\alpha+\beta+1 \big)\big(  2n+\alpha+\beta\big)},$