子群
定义和例子
一个简单的方法来拆分任何带有一系列公理的数学结构的方法，来研究同样带有公理的数学结构。我们开始这个工程来研究群的子群。
第二个拆分数学结构的方法就是来研究它的商结构，商群的概念，这是一个方式来拆分一个群变成更小的群(我们将在下一个章节学习)
子群的定义
G为群，G的子集H是G的子群，如果H是非空的，H在积和逆运算下是封闭的。如果H是G的子群，我们记做\(H < G\)
例子
\((ii)\)每一群G其实都有两个平凡的子群\(H=G,H=\{1\}\)
推论
(子群的标准:)\(H\)是\(G\)的子群，当且仅当：
\((i)H \neq \varnothing\)
\((ii) \forall x,y \in H,xy^{-1} \in H\)
如果H是有限的，我们需要确定H的封闭性
练习题
12.A为Abel群，然后固定\(n \in \mathbb{Z}\)我们证明下面的集合是A的子群：
\((a)\{a^n|a \in A\}\)
\((b)\{a \in A |a^n =1\}\)