Some Definitions

群

设\(G\)是一个非空集合，\(\cdot\)是一个定义在\(G\)上的二元运算。
下面给出几条性质：
\(1.\)封闭性：\(\forall a,b\in G,a\cdot b\in G\)
\(2.\)结合律：\(\forall a,b,c\in G,(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)\)
\(3.\)单位元：\(\exists e\in G,\forall a\in G,e\cdot a=a\)
\(4.\)逆元：\(\forall a\in G,\exists a^{-1}\in G,a^{-1}\cdot a=a\cdot a^{-1}=e\)
\(5.\)交换律：\(\forall a,b\in G,a\cdot b=b\cdot a\)
满足\(1\)的\(<G,\cdot>\)称为广群或者代数系统。
在此基础上满足\(2\)的\(<G,\cdot>\)称为半群。
在此基础上满足\(3\)的\(<G,\cdot>\)称为幺半群。
在此基础上满足\(4\)的\(<G,\cdot>\)称为群。
在此基础上满足\(5\)的\(<G,\cdot>\)称为交换群。

环

设\(R\)是一个非空集合，\(+,\cdot\)是两个定义在\(R\)上的二元运算。
下面给出几条性质：
\(1.<R,+>\)是带有单位元\(0\)的交换幺半群。
\(1'.<R,+>\)是带有单位元\(0\)的交换群。
\(2.<R,\cdot>\)是一个半群。
\(2'.<R,\cdot>\)是一个带有单位元\(1\)的幺半群。
\(2''.<R,\cdot>\)是一个交换半群。
\(2'''.<R\setminus\{0\},\cdot>\)是一个群。
\(3.\)分配律：\(\forall a,b,c\in R,(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c,a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c\)
\(4.\)抵消律：\(\forall a\in R,a\cdot0=0\cdot a=0\)
满足\(1,2',3,4\)的\(<R,+,\cdot>\)被称为半环。
在此基础上满足\(2''\)的\(<R,+,\cdot>\)被称为交换半环。
满足\(1',2,3,4\)的\(<R,+,\cdot>\)被称为环。（实际上\(4\)可以由\(1,3\)推出）
满足\(1',2',3,4\)的\(<R,+,\cdot>\)被称为幺环。
满足\(1',2'',3,4\)的\(<R,+,\cdot>\)被称为交换环。
满足\(1',2,2'',3,4\)的\(<R,+,\cdot>\)被称为除环。

域

设\(F\)是一个非空集合，\(+,\cdot\)是两个定义在\(R\)上的二元运算。
若\(<F,+,\cdot>\)是一个交换除环，那么\(<F,+,\cdot>\)被称为域。