内容整理自任世军老师的教学资料，也有些是自己做出的证明。若有错漏之处，敬祈指教。

代数系：

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$ 设“◦”是非空集合S 上的一个二元代数运算，则称二元组(S， ◦) 为一个（有一个代数运算的）代数系。

一、集合上的二元运算:

定义：
- 二元运算：
  $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$ 设X 是一个集合，一个从X与X的笛卡尔积到X 的一个映射φ 称为X上的一个二元代数运算。
两个基本性质：
- 结合律：
  $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$ 结合律是一些二元代数运算所满足的运算规律。假设◦为定义在集合S上的二元代数运算，而a,b,c是S中的任意三元素。那么◦满足结合律，当且仅当(a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c) 。
- 交换律：
  $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$ 交换律是一些二元代数运算所满足的运算规律。假设◦为定义在集合S上的二元代数运算，而a,b是S中的任意二元素。那么◦满足结合律，当且仅当a ◦ b=b ◦ a。

基本定理:
- 定理一：
  $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$ 设(S， ◦) 为一个代数系。如果二元代数运算“◦”满足结合律，则 $\forall a_i\in S,(i=1,2,...,n ) \,\,\,\,\, a_1,a_2,a_3,...,a_n$ 的乘积仅与这n 个元素及其次序有关而唯一确定。
- 定理二：
  $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$ 设(S，◦) 为一个代数系。如果二元代数运算“◦”满足结合律以及交换律，则 $\forall a_i\in S,(i=1,2,...,n ) \,\,\,\,\, a_1,a_2,a_3,...,a_n$ 的乘积仅与这n 个元素有关而唯一确定，与其次序无关。

定义：
- 左幺元：
  $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$ 设(S，◦) 是一个代数系，如果存在一个元素 $a_l\in S$ , 使得 $\forall a\in S ,a_l◦a=a$ ，则称该元素为乘法“◦”的左单位元素（左幺元）。
- 右幺元：
  $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$ 设(S，◦) 是一个代数系，如果存在一个元素 $a_r\in S$ , 使得 $\forall a\in S ,a◦a_r=a$ ，则称该元素为乘法“◦”的右单位元素（右幺元）。
- 幺元：
  $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$ 设(S，◦) 是一个代数系，如果存在一个元素 $e\in S$ , 使得 $\forall a\in S ,e◦a=a◦e=a$ ，则称该元素为乘法“◦”的单位元素（幺元）。
基本定理：
- 定理：
  $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$ (S，◦) 是一个代数系。如果二元代数运算“◦”既有幺元 $a_l$ 又有右幺元 $a_r$ ，则 $a_l=a_r =e$ ，从而该代数系有幺元 $e$ 。
- 证明：
  $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$ 因为 $\forall a\in S ,a_l◦a=a$ ,而且 $\forall a\in S ,a◦a_r=a$ ，那么就有 $a_l◦a_r=a_r（因为a_l是左幺元）。还有a_l◦a_r=a_l(因为a_r是右幺元）。$ 从而由反证法知道，一定有 $a_l=a_r$ 。

定义：
- 零元：
  $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$ 设(S，◦) 是一个代数系，如果存在一个元素 $z\in S$ , 使得 $\forall a\in S ,z◦a=a ◦ z=z$ ，则称该元素为乘法“◦”的零元。