同构:
设(S; ◦) 和(T;
∗) 是两个半群。如果存在一个从S 到T 的双射φ,使得
∀a,b∈S 有φ(a ◦ b) = φ(a)
∗ φ(b)则称半群(S; ◦) 与(T;
∗ ) 同构。记为(S; ◦)
≅(T;
∗),简记为S
≅T。φ 称为从S 到T 的一个同构(映射)。
设(M; ◦; e) 和(M′;
∗; e′) 是两个幺半群。如果存在一个从M 到M′ 的双射φ,使得
∀a,b∈M 有φ(e) = e′; φ(x ◦ y) = φ(x)
∗ φ(y)则称幺半群(M; ◦; e) 和(M′;
∗; e′) 同构。记为(M; ◦; e)
≅(M′;
∗; e′),简记为M
≅M′。φ 称为从M 到M′ 的一个同构(映射)。
同态:
设(S; ◦) 和(T;
∗) 是两个半群。如果存在一个从S 到T 的映射φ,使得
∀a,b∈S有φ(a ◦ b) = φ(a)
∗ φ(b)则称半群(S; ◦) 与(T;
∗ ) 是同态的。φ 称为从S 到T 的一个同态。φ(S)称为同态象。若(M; ◦; e) 和(M′;
∗; e′) 是两个幺半群。
如果存在一个从M 到M′ 的映射φ,使得
∀a,b∈M有φ(e) = e′; φ(x ◦ y) = φ(x)
∗ φ(y)则称幺半群(M; ◦; e) 与(M′;
∗ ; e′) 同态。φ 称为从M 到M′ 的一个同态。
(一)幺半群的凯莱定理:
- 定理:
任何幺半群(M; ◦; e) 同构于变换幺半群
(L(M);∗;IM)
(L(M);◦;IM)中
L(M)是一个
M上的一一对应的集合。
L(M)={fa(x)∣fa(x):M−>M;∀x,fa(x)=a◦x;a∈M};
IM=fe(x)=e◦x。
定义运算
∗满足
∀fa(x),fb(x)∈L(M);fa(x)∗fb(x)=fa◦b(x)
- 证明:
做映射
φ(z):M−>L(M),φ(z)=fz(x),该映射首先是一个双射,而且满足同构的条件φ(e) =
IM;
∀x,y∈M, φ(x ◦ y) = φ(x) * φ(y)。因而可证幺半群的凯莱定理成立。
(二)同态相关定理:
- 定理一:
设(S; ◦) 是一个半群,(T;
∗) 是一个具有二元代数运算
∗的代数系。如果存在满映射φ : S ->T 使得
∀x,y∈S 有φ(x ◦ y) = φ(x)
∗ φ(y)则(T;
∗) 是半群。
- 证明:
只需要证明(T;
∗)中的运算
∗满足乘法的结合律即可。
∀x,y,z∈T,要证
x∗(y∗z)=(x∗y)∗z。因为
∀x,y,z∈T;∃a,b,c∈S,使得
φ(a)=x,φ(b)=y,φ(c)=z成立。所以可以将条件“
∀x,y∈S 有φ(x ◦ y) = φ(x)
∗ φ(y)”改写为
∀x,y∈T;x∗y=φ(a)∗φ(b)=φ(a◦b)。进而
x∗(y∗z)=φ(a◦(b◦c))=φ((a◦b)◦c)=(x∗y)∗z
- 定理二:
设(S; ◦; e) 是一个幺半群,(T;
∗) 是半群。如果φ 是S 到T 的满半群同态,则φ(e) 是T 的单位元,从而(T;
∗; φ(e)) 是幺半群。
- 证明:
直接由同态的定义:如果φ是S到T的满半群同态,则
∀x∈T;∃a∈S,φ(a)=x。那么,就有
∀x∈T,φ(e)∗x=φ(e)∗φ(a)=φ(e∘a)=x。同理可证
∀x∈T,x∗φ(e)=x。从而说明了φ(e) 是T 的单位元,而(T;
∗; φ(e)) 是幺半群。
- 定理三:
设(M1; ◦; e1) 和(M2;
∗; e2) 是幺半群。如果M1 到M2 有一个同态φ,则M1 的可逆元素a 的象φ(a) 也可逆并且
(φ(a))−1 = φ(
a−1)。
- 证明:
直接由同态的定义:如果φ是M1到M2的幺半群同态,则有
∀a∈M1,a可逆:φ(a)∗φ(a−1)=φ(a∘a−1)=φ(e);φ(a−1)∗φ(a)=φ(a−1∘a)=φ(e)。那么,就有φ(a) 也可逆并且
(φ(a))−1 = φ(
a−1)。
- 定理四:
设φ 是半群(S1; ◦) 到(S2;
∗) 的同态,μ是半群(S2;
∗) 到(S3;
⋅) 的同态,则 μ与φ的合成映射 μ
∙φ是一个(S1; ◦) 到(S3;
⋅) 的同态。
也就是说,假如视半群的同态为一种二元关系,半群的同态关系是满足自反性和传递性的。
- 证明:
根据同态的定义:
∀a,b∈S1:φ(a∘b)=φ(a)∗φ(b);∀x,y∈S2:μ(x∗y)=μ(x)⋅μ(y)。则有
∀m,n∈S1:μ[φ(m∘n)]=μ[φ(m)∗φ(n)]=μ[φ(m)]⋅μ[φ(n)]。因此合成映射μ
∙φ是一个(S1; ◦) 到(S3;
⋅) 的同态。
(三)自然同态与商群:
-
定义:(同余关系)
设
≃是代数系(X; ◦) 上的等价关系。
∀a,a′,b,b′∈X,如果a′
≃a 并且b′
≃b,则必有a′ ◦ b′
≃a ◦ b,那么就称
≃是代数系X 上的同余关系。
-
定义:(商半群)
设(S; ◦) 和(T;
∗) 是两个半群。φ 是S 到T 的同态。半群(S/Eφ;
⋅) 称为商半群。
-
说明:
商半群是一个由等价类构成的集合。S/Eφ=
{[x]a∣x∈S;φ(x)=a(a∈S)}。而且对于S/Eφ上的二元代数运算“
⋅”满足
[x]a⋅[y]b=[x∘y]c。因为对于
∀x,x′∈[x]a;∀y,y′∈[y]b,可以根据同态的定义证明
φ(x∘y)=φ(x′∘y′)=c。亦即
x∘y,x′∘y′∈[x∘y]c
-
定义:(自然同态)
设(S; ◦) 和(T;
∗) 是两个半群。φ 是S 到T 的同态。半群(S/Eφ;
⋅) 为φ导出的商半群。令
γ: S
→S/Eφ;
∀a∈S;
γ(a) = [a] 则称 为S 到商半群S/Eφ 的自然同态。
-
说明:
因为
∀a,b∈S;γ(a) = [a];
γ(b) = [b]。则有:
γ(a∘b)=[a∘b]=γ(a)⋅γ(b)。从而可以说明
γ是一个S到S/Eφ的同态。
自然同态一定是一个满同态。
(四)幺半群的同态基本定理:
设φ 是幺半群(M; ◦; e) 到(M′;
∗ ; e′) 的同态,则:
1.同态象φ(M) 是M′ 的一个子幺半群。
2.由φ 确定的等价关系是同余关系,(M/Eφ;
⋅; [e]) 是幺半群。
3.存在唯一的M/Eφ 到M′ 的单同态
φˉ 使得
φˉ∘γ=φ。其中
γ是由φ生成的自然同态。
4.如果φ是一个满同态,则
φˉ是一个双射,M/Eφ 与M′ 同构。。