半群：

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$设(S; ◦) 是一个代数系，如果“◦“满足结合律，那么就称S 对于乘法“◦“构成一个半群（Semigroup），记为(S; ◦)

幺半群：

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$有单位元素e 的半群(S; ◦) 称为独异点或者称为幺半群。记为(S; ◦; e)。如果S 是一个有限集合，则称(S; ◦; e) 为有限幺半群，S 的基数称为幺半群(S; ◦; e) 的阶。

一、幺半群性质定理:

• 定理：

  • 幺半群性质定理：
    $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$有限半群(S; ◦) 是一个幺半群当且仅当 $\exist s ,t \in S$ 使得sS = S; St = S。
    
    

• 证明：

  • 必要性的证明：
    $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$按照条件，是显然的。
  • 充分性的证明：
    证明策略：
    $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$首先将问题分解为：
    $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$ “（一） $\exist s \in S$ 使得sS = S，证明有限半群(S; ◦)有左幺元”；
    $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$ “（二） $\exist t \in S$ 使得St = S，证明有限半群(S; ◦)有右幺元。”
    $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$ 因为根据代数系的幺元的基本性质——“假若左右幺元同时存在，则二者相等且为唯一的幺元”，则只需要分别证明上述二者成立即可。
    
    
    证明（一）：
    $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$因为 $\exist s \in S$ 使得sS = S从而将s的左乘视为一种从S到S的映射Φ(x)。因为Φ(x)是一个满射（每一个像都有原像）。而又因为|sS|=|S|，从而Φ(x)是满射的同时又一定是单射。从而Φ(x)是一个双射，根据定义它也是一个S上的置换（Permutation）。
    $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$对于r阶循环置换δ来说，显然有 $δ^{kr}=I,k=1,2,3...$。而对于 $Φ(x)=\delta _1\delta _2\delta _3...\delta _n$来说， $Φ(x)^k=\delta _1^k\delta _2^k\delta _3^k...\delta _n^k$（置循乘法的交换率）。取k为 $\delta _1\delta _2\delta _3...\delta _n$的最小公倍数，则可以使得 $\delta _1^k\delta _2^k\delta _3^k...\delta _n^k$中的每一项均为 $I$（恒等置换）。从而证得存在一个S中元素， $s^k$为S的左幺元。
    证明（二）：同理可证。
    
    举例说明：
    $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$对于有限半群(S; ◦),有S={a,b,c,d,e,f,g,h}，而且c(a,b,c,d,e,f,g,h)=(c,a,b,e,d,f,h,g)满足cS=S。从而c的左乘变换为S上的置换，且该置换可以分解为c(a,b,c,d,e,f,g,h)=c(a,b,c)*c(d,e)*c(f)*c(g,h)，四个循环置换乘积。进而可得： $c^6(a,b,c,d,e,f,g,h)=(a,b,c,d,e,f,g,h)$
    
    有关置换的补充：
    $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$ 1)根据置换的基本性质定理，任何一个置换可以分解为若干不相关的循环置换的置循乘法乘积。而置循乘法满足性质——“不含有相同数字（即不相干）的循环置换的乘积是满足交换律的”。
    $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$ 2)根据定理，含有r个数字的循环置换称之为r阶循环置换。而r阶循环置换δ的r次方 $δ^r$即为恒等置换 $I$。
    
    
    

二、元素的幂与逆：

• 定义:
  • 元素的幂：
    $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$在半群(S; ◦) 中可以定义元素的正整数次幂： $\forall a \in S,a^1=a,a^{n+1}=a^n◦a$
    $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$在幺半群中=(S; ◦; e)中 可以定义元素的非负整数次幂： $\forall a \in S,a^0=e,a^1=a,a^{n+1}=a^n◦a$
    $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$由归纳法可证：设(S; ◦; e) 是一个幺半群，m; n 是任意的非负整数 $\forall a \in S\,\,\,\,a^ma^n=a^{m+n};(a^m)^n=a^{mn}$
  • （幺半群）元素的逆：
    $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$设(S; ◦; e) 是一个幺半群， $\forall a \in S$。称a 有左逆元素，如果存在 $a_l \in S$使得 $a_l$ ◦ a = e，这时 $a_l$称为a 的左逆元素。称a 有右逆元素，如果存在 $a_r \in S$ 使得a ◦ $a_r$ = e，这时 $a_r$ 称为a 的右逆元素。如果存在 $b \in S$使得a ◦ b = b ◦ a = e，则称a 有逆元素，b 称为a 的逆元素。
    $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$如果幺半群(S; ◦; e) 中的元素a 有左逆元素 $a_l$，又有右逆元素 $a_r$，则 $a_l=a_r$。于是a 有逆元素并且逆元素唯一。记为 $a^{-1}$。

三、习题：

• 1.证明：有限半群(S; ◦) 中一定有一个元素 $a \in S$，使得a ◦ a = a。
  • 思路：
    $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$考虑简单的计数原理，对于 $a \in S,|S|=n$ ，a的幂次 $a^2 ,a^3,a^4,a^5...a^n,a^{n+1},a^{n+2}$构成的序列一共有着n+1个值。则其中一定存在两个幂次 $a^i$和 $a^j$(i＜j)，使得 $a^i$= $a^j$。 如果有j=2i，则 $a^j=a^i◦a^i=a^i$，即该问题得证。
    $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$但是计数原理得到的结论 $a^i$= $a^j$对于i,j并没有什么限定。然而我们可以假设有一个正整数x使得j+x=2(i+x)。从而可以根据 $a^i$= $a^j$构造出 $a^i◦a^x=a^{i+x}=a^{j+x}=a^j◦a^x$，而 $a^{j+x}=a^{i+x}◦a^{i+x}=a^{i+x}$，进而得证此问题。也就是说，证明问题的关键是确保x=j-2i有正整数解。
  • 证明：
    $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$对于 $\forall a \in S$，可以构造一个序列 $a^3,a^9,a^{27}...a^{3^n},a^{3^{n+1}},a^{3^{n+2}}$因为这个序列一共有n+1个值，则其中一定存在两个值 $a^{3^i}$= $a^{3^j}$(i＜j)。则 $a^{3^i}◦a^{3^j-2*3^i}$= $a^{3^j}◦a^{3^j-2*3^i}$，即 $a^{3^j-3^i}$= $a^{2*3^j-2*3^i}=a^{3^j-3^i}◦a^{3^j-3^i}$ 。Q.E.D.