迷宫求解问题

【问题描述】
下图给出了一个迷宫的平面图，其中标记为1的为障碍，标记为0的为可以通行的地方。
010000
000100
001001
110000
迷宫的入口为左上角，出口为右下角，在迷宫中，只能从一个位置走到这个它的上、下、左、右四个方向之一。 对于上面的迷宫，从入口开始，可以按DRRURRDDDR的顺序通过迷宫， 一共 10 步。其中 D、U、L、R 分别表示向下、向上、向左、向右走。

【输入】：行数n，列数m（0<m，n<51），再输入n行m列只包含0、1的地图。数据保证起点不是墙。
【输出】：在步数最少的前提下，请找出字典序最小的一个作为答案。请注意在字典序中D<L<R<U。

例如下面这个更复杂的迷宫（30 行 50 列）
01010101001011001001010110010110100100001000101010 00001000100000101010010000100000001001100110100101 01111011010010001000001101001011100011000000010000 01000000001010100011010000101000001010101011001011 00011111000000101000010010100010100000101100000000 11001000110101000010101100011010011010101011110111 00011011010101001001001010000001000101001110000000
10100000101000100110101010111110011000010000111010 00111000001010100001100010000001000101001100001001 11000110100001110010001001010101010101010001101000 00010000100100000101001010101110100010101010000101 11100100101001001000010000010101010100100100010100 00000010000000101011001111010001100000101010100011 10101010011100001000011000010110011110110100001000 10101010100001101010100101000010100000111011101001 10000000101100010000101100101101001011100000000100 10101001000000010100100001000100000100011110101001 00101001010101101001010100011010101101110000110101 11001010000100001100000010100101000001000111000010 00001000110000110101101000000100101001001000011101 10100101000101000000001110110010110101101010100001 00101000010000110101010000100010001001000100010101 10100001000110010001000010101001010101011111010010 00000100101000000110010100101001000001000000000010 11010000001001110111001001000011101001011011101000 00000110100010001000100000001000011101000000110011 10101000101000100010001111100010101001010000001000 10000010100101001010110000000100101010001011101000 00111100001000010000000110111000000001000000001011 10000001100111010111010001000110111010101101111000
$\bullet$原理分析
如何从迷宫左上角走到左下角？
贪心无脑地走？遇到可走地的地方就走，毫无规律，有可能遇到死胡同还要回退，数据足够大时需要花费很多时间，时间复杂度太大。

$\bullet$正解：最开始将起点 $\left(1,1\right)$加入队列。之后取出队首元素并判断是否是终点如果是就输出路径终止循环，如果不是就遍历与队首相连的上下左右四个方向，注意到题目要求路径字典序最小，方向数组就可以设置为 ${\ \left[1,0\right]\ ,\ \left[0,-1\right]\ ,\ \left[0,1\right]\ ,\ \left[-1,0\right]\ }$，分别对应“下”，“左”，“右”，“上”，（ 例如：如果当前队首元素是 $\left(1,1\right)$，那么它的下方坐标就是 $\left(1+1\ ,\ 1+0\right)$，左方坐标就是 $\left(1+0\ ,\ 1-1\right)$，右方坐标就是 $\left(1+0\ ,\ 1+1\right)$，上方坐标就是 $\left(1-1\ ,\ 1+0\right)$ ）如果有可走的方向就将其加入到队列中；重复这一过程，直至找到终点。

$\bullet$queue 模板类的定义在 $&lt;queue&gt;$头文件中。
queue 的基本操作有：
定义：queue q;
入队，如例：q.push(x); 将x 接到队列的末端。
出队，如例：q.pop(); 弹出队列的第一个元素，注意，并不会返回被弹出元素的值。
访问队首元素，如例：q.front()，即最早被压入队列的元素。
访问队尾元素，如例：q.back()，即最后被压入队列的元素。
判断队列空，如例：q.empty()，当队列空时，返回true。
访问队列中的元素个数，如例：q.size()

$\bullet$流程图如下：

$\bullet$代码如下：

#include<cstdio>
#include<string>
#include<iostream>
#include<map>
#include<queue>//C++STL里的队列模板
#include<algorithm>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
using namespace std;
const int maxn=55;//定义静态常量maxn表示行或列的最大值

char maze[maxn][maxn];//定义地图数组
char route[maxn][maxn];
char direction[4]={'D','L','R','U'}; //记录路径的数组，与方向数组对应
int dx[4]={1,0,0,-1};//从当前方向转移到下一个方向的方向数组
int dy[4]={0,-1,1,0};
int n,m;//定义行列值

struct node//定义一个结构体表示当前坐标和当前路径
{
    int x,y;
    string str;
    node(int xx,int yy,string s):x(xx),y(yy),str(s){}//结构体构造函数
    node(){}
};
string r;
queue<node>q;//定义queue，队列里的元素是结构体

bool check(int x,int y) //bool变量返回值只有真假，常用于判断真（1）假（0）
{
    if(x<1 || x>n || y<1 || y>m || maze[x][y] == '1') //检查当前坐标是否超出地图或者是否在墙的位置，如果真返回假（0）
        return false;
    else return true;
}

void BFS()//广度优先搜索
{
    node start(1,1,"");
    q.push(start); //将起点加入到队列中
    maze[1][1]='1';//将起点在地图中的坐标标记为‘1’，代表走过了这个点，以后就不能再走了
    while(!q.empty())//判断队列不为空
    {
        node now=q.front();//取出队首元素
        q.pop();//删除队首元素

        if(now.x==n&&now.y==m){//判断是不是终点
            int len=now.str.size();
            r=now.str;
            for(int i=0,j=1;i<len;i++,j++){
                printf("%c%c",now.str[i],j%10==0?'\n':32);//如果是终点就输出路径
            }
            printf("\n");
            break;//调出循环
        }

        for(int i=0;i<4;i++)//循环遍历方向数组，下（i=0）、左（i=1）、右(i=2)、上(i=3)
        {
            int nx=now.x+dx[i];//当前横坐标坐标转移到它的下方下方（i=0）、左方（i=1）、右方(i=2)或上方(i=3)对应的横坐标。
            int ny=now.y+dy[i]; //当前纵坐标坐标转移到它的下方下方（i=0）、左方（i=1）、右方(i=2)或上方(i=3)对应的纵坐标。
            if(check(nx,ny))//如果（nx，ny）坐标可走
            {
                maze[nx][ny]='1';//将转移后的坐标置为‘1’代表墙
                node next(nx,ny,now.str+direction[i]); //定义next坐标结构体并对其赋值
                q.push(next); // 将转移后的坐标加入到队列尾部
            }
        }
    }
    return ;
}

void printf_route()//打印路径
{
    int x=1,y=1;
    maze[x][y]='@';
    auto it=r.begin();
    for(;it!=r.end();it++){
        if(*it=='D'){
            x++;
            maze[x][y]='@';
        }
        else if(*it=='L'){
            y--;
            maze[x][y]='@';
        }
        else if(*it=='R'){
            y++;
            maze[x][y]='@';
        }
        else if(*it=='U'){
            x--;
            maze[x][y]='@';
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++){
            if(maze[i][j]=='1'||maze[i][j]=='0')printf(".");
            else printf("%c",maze[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
}

int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	memset(maze,0,sizeof(maze));//清空坐标数组
	for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%s",maze[i]+1);//输入迷宫
    BFS();
    printf_route();
	return 0;
}

$\bullet$运行结果：
注意：如果用栈来存储结点的话就是DFS了。