0 写在前面
持续更新中,作者为2021年考研,目标NJU,写这篇文章的目标是提供压轴题思路,而对于基础题则可以参考《闭关修炼》,有任何意见都可以私信我。
2019/11/22更新:文章做了比较大的改版,目前该文章有些杂乱,原因是目前在第一阶段打基础,对于自己薄弱的部分还需要用题来巩固,在不久的之后,未掌握内容会逐渐减少,压轴题(难题)部分内容会逐渐增加。
2020/1/10更新:持续学习中…
参考资料:
- 张宇《高等数学18讲(2017年)》
- 张宇《考研数学闭关修炼》
- 陈兆东等《大学生数学竞赛习题精讲(第2版)》
- 张天德等《全国大学生数学竞赛辅导指南(第2版)》
1 未掌握内容
- 曲率和曲率半径
- 曲线
L:y=f(x),曲率
K=(1+y′2)23∣y′′∣;
- 曲线
L:x=ϕ(t),y=Φ(t),曲率
K=(ϕ′2+Φ′2)23∣ϕ′Φ′′−ϕ′′Φ′∣
- 曲率半径
R=K1
- 多元极限存在(略)
- 多元函数连续(略)
- 偏导数存在(一动一静,略)
- 全微分存在(全微分存在)
Δz=fx′Δx+fy′Δy+O(ρ),ρ=(Δx)2+(Δy)2
- 偏导数连续
5→4→2→1
4→3
- 雅可比式
J=∂(u,v)∂(F,G)=∣∂u∂F,∂v∂F;∂u∂G,∂v∂G∣
- 方向导数
若
f(x,y,z)在
P(x,y,z)点处可微,则函数在P点沿着
l=(cosα,cosβ,cosγ)的方向导数为
∂l∂f=fxcosα+fycosβ+fzcosγ
- 梯度
gradf(x,y)=(fx,fy)
- 散度和旋度
设
A(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))
则散度
divA=∂x∂P+∂y∂Q+∂z∂R,旋度为
rotA=∣i,j,k;∂x∂,∂y∂,∂z∂;P,Q,R∣
- 区间再现公式
- 华里士公式
n为偶数:
In=∫02πsinnxdx=∫02πcosnxdx=2π⋅(n)!!(n−1)!!
n为大于1的奇数:
In=∫02πsinnxdx=∫02πcosnxdx=(n)!!(n−1)!!
- 特殊的广义积分
- 伽马函数
Γ(s)=∫0+∞xs−1e−xdx(s>0),
Γ(s+1)=sΓ(s)
- 高斯积分
∫−∞+∞e−x2dx=π
- 特殊积分
- 积分为区间长度的一半
- 正交的积分
-
平移换系
令
u=f(x,y),v=g(x,y),则
dxdy=∣J∣dudv,其中
J=∣xu,xv;yu,yv∣
-
球面坐标系(
r2sinψdrdψdθ)
x=rsinψcosθ,y=rsinψsinθ,z=rcosψ
- 转动惯量
对于平面薄片,面密度为
ρ(x,y),D是薄片所占的平面区域,则薄片对x轴、y轴和原点O的转动惯量分别为
Ix=∬Dy2ρ(x,y)dσ,Iy=∬Dx2ρ(x,y)dσ,IO=∬D(x2+y2)ρ(x,y)dσ.
空间物体、光滑曲线、光滑曲面的转动惯量可以类推。
- 引力
对于平面薄片,它对点
M0(x0,y0,z0)处的质量为m的质点的引力
(Fx,Fy,Fz)为
Fx=Gm∬D[(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2]23ρ(x,y)(x−x0)dσ
Fy=Gm∬D[(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2]23ρ(x,y)(y−y0)dσ
Fz=Gm∬D[(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2]23ρ(x,y)(z−z0)dσ
其中
G为引力系数。空间物体、光滑曲线、光滑曲面的引力可以类推。
3.3 曲线曲面积分
3.3.1 曲线积分
3.3.1.1 第一型
第一型曲线积分中的f可以理解为曲线的密度。
计算方法有:
- 基本性质(略)
- 化为定积分
参数方程
x=x(t),y=y(t)(
ds=x′2+y′2
dt),直角坐标系方程
y=y(x)(
ds=1+y′2
dx),极坐标系方程(
ds=r2+r′2
dθ)。(三维空间略)
- 形心公式的逆用(略)
3.3.1.2 平面第二型
第二型曲线积分中的f依然是曲线的密度,不过该曲线是带方向的。
∫CP(x,y)dx+Q(x,y)dy
计算方法有:
- 基本性质(略)
- 两型曲线积分的转换(如何表示方向:(
cosα,cosβ,cosγ))
- 化为定积分
参数方程
x=x(t),y=y(t)(dx=x’dt,dy=y’dt),直角坐标系类似第一型,这里不再赘述。
- 格林公式
若D是以光滑正向(正向即逆时针)闭曲线C为边界的平面区域,则
∫CPdx+Qdy=∬D(∂x∂Q−∂y∂P)dσ
构造格林公式的方法(添线法(构造椭圆或圆或垂线))
- 四个等价条件(略,基本上就是说如果曲线积分与路线无关,只与起点和终点有关,则闭曲线积分为0)
- 凑微分法
3.3.1.3 空间第二型
∫lP(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz
斯托克斯公式
对于光滑曲面
Σ的边界闭曲线
l,若
l和Σ同向(同正或同负),则
∫lP(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz=
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∬Σ(∂y∂R−∂z∂Q)dydz+(∂z∂P−∂x∂R)dxdz+(∂x∂Q−∂y∂P)dxdy=
∬Σ∣dydz,dzdx,dxdy;∂x∂,∂y∂,∂z∂;P,Q,R∣
3.3.2 曲面积分
3.3.2.1 第一型
第一型曲面积分中的f可以理解为曲面的密度。
∬ΣP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dxdz+R(x,y,z)dxdy
计算方法有:
- 基本性质(略)
- 化为二重积分
直角坐标系方程
z=z(x,y)(
dS=1+zx2+zy2
dxdy)(注意投影不能重合,即
z=z(x,y)为单值函数)。
- 形心公式的逆用(略)
3.3.2.2 第二型
第二型曲面积分中的f依然是曲面的密度,不过该曲面是带方向的。
计算方法有
- 基本性质(略)
- 化为二重积分
将原函数分为三部分分别投影到对应的坐标面上,以
∬ΣR(x,y,z)dxdy为例,首先得到不能重合的
xOy面上的投影
Dxy,则
∬ΣR(x,y,z)dxdy=±∬DxyR(x,y,z(x,y))dxdy,注意这里的
±为曲面的方向,若为上、右、前侧(曲面的法向量与z正轴的夹角为锐角时)则为
+,否则为
−。
- 两型曲面积分的转换,同曲线积分的转换方法。
- 高斯公式
与格林公式类似
Σ为闭曲面,围住的区域为
Ω,则
∬ΣPdydz+Qdzdx+Rdxdy=∭Ω(∂x∂P+∂y∂Q+∂z∂R)dv
构造高斯公式的方法(补面法)
3.3.3 题型讲解
不等式证明
(1)
2∣ab∣≤a2+b2;∣a±b∣≤∣a∣+∣b∣;∣∣a∣−∣b∣∣≤∣a−b∣;
(2)
∣a1±a2±...±an∣≤∣a1∣+∣a2∣+...+∣an∣;∣∫abf(x)dx∣≤∫ab∣f(x)∣dx是(1)的推广;
(3)设
a1,a2,...,an>0,则
na1+a2+...+an≥na1a2...an
;∣na1+a2+...+an∣≤na12+a22+...+an2
,等号成立为a相等;
(4)
x,y,p,q>0,若
p1+q1=1,则
xy≤pxp+qxq
5. 柯西-施瓦兹不等式,乘积的次方≤次方的乘积
-
(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
-
[∫abf(x)g(x)dx]2≤∫abf2(x)dx⋅∫abg2(x)dx
(7)
∣∫abf(x)g(x)dx∣≤[∫ab∣f(x)∣pdx]p1⋅[∫ab∣g(x)∣qdx]q1,p>1,p1+q1=1是(6)的一般式
(8)放缩法(略)
(9)伯努利不等式:
(1+x)α≥1+αx
(10)若尔当不等式:
π2θ≤sinθ≤θ
(11)
(12)
5.3 傅里叶级数
傅里叶级数f(x0+)+f(x0-)/2
迪利克雷定理
题型讲解
六、微分方程
6.1 一阶微分方程
- 伯努利
y′+P(x)y=Q(x)yα
两边同除以
yα,凑微分,令
z=y1−α可得
z′+(1−α)P(x)z=(1−α)Q(x),转为3
- 全微分方程
6.3.2 非齐次特解的解法
解的结构:齐次的解+特解,若右端项为
q(x)则有以下解法
- 18讲中的待定系数法
- 算子解法
算子即
D=dxd,则特解可以表示为
y=f(D)1q(x)
当
q(x)为n次多项式时,将
f(D)1利用多项式除法(泰勒级数展开)到n次项为止。
6.4 欧拉方程
七、解析几何(略)
l1
=(a1,b1,c1),
l2
=(a2,b2,c2),
p1=(x1,y1,z1),
p2=(x2,y2,z2)
- 两直线的距离公式
d=∣l1
×l2
∣p1p2
⋅(l1
×l2
)
- 经过直线的平面,平面束方程
2 压轴题记录
证明题
遇到极限和导数可以考虑导数定义
泰勒公式:遇到高阶导数或者是需要得到一个特殊的数值
4.5.1 中值等式问题
4.5.1.1 单中值问题(
ξ)
(1)将中值等式中的
ξ换成x,令y=f(x);
(2)解微分方程,把通解表达为G(x,y)=C的形式;
(3)得到辅助函数
F(x)=G(x,f(x));
(4)利用罗尔定理得出结论。
例1:
4.5.1.2 多中值问题
这种题的难点在于找到分割点,常用拉格朗日中值定理和柯西中值定理
3 超纲备用知识
- Stolz定理(离散的洛必达公式)
设数列
{bn}单调增加且
n→∞limbn=+∞,若右端存在或为无穷则
n→∞limbnan=n→∞limbn−bn−1an−an−1