方程根讨论

遇到方程根讨论的题目可以考虑使用以下方法：
1.零点定理
2.罗尔法
3.单调法

例题1：证 $x^2-3x+1=0至少一个正根$

1.根据要证的结论构造辅助函数
$f(x)=x^2-3x+1$
2.使用零点定理
$\because f(0)\ \cdot \ f(1)<0$
$\exists \ c \in (0,1).使得f(c)=0$

罗尔法：
令结论= $f(x)，再找出f(x)的原函数F(x).使得F'(x)=f(x)$
$F(x)就作为辅助函数$
找出两个点 $a,b$ 使得 $F(a)=F(b)$
根据罗尔定理 $\exists \ c \in(a,b) 使得F'(c)=0$
$\Rightarrow f(c)=0$

例题2：已知： $a_0+\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{3}=0$，证明： $a_0+a_1x+a_2x^2=0至少一个正根$

1.令 $f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2$,那么原函数就是：

$F(x)=a_0x+\frac{a_1}{2}x^2+\frac{a_2}{3}x^3$

2.找到两点0,1使得
$F(0)=F(1)=0$

3.根据罗尔定理
$\exists \ c \in(0,1) 使得 F'(c)=0$
$\therefore f(c)=0$
即： $a_0+a_1x+a_2x^2=0$至少一个正根

单调法：

1. 令辅助函数 $f(x)=要证的结论$，并标注 $x$的定义域
2. 找极值点，一阶导数等于0，或者一阶导数不存在的点很有可能是极值点。
3. 关注两侧，作草图

例题3：问： $\ln x =\frac{x}{e}-2有多少个根？$

1.构造辅助函数，标注 $x$的定义域

令 $f(x)=\ln x-\frac{x}{e}+2$， $(x>0)$

2.对辅助函数求导

$f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{e}=0 \Rightarrow x=e$

一阶导数等于0的点很可能是极值点，所以令一阶导数等于0看一下

$f''(x)=-\frac{1}{x^2} \Rightarrow f''(e)<0$

根据单调性的第二充分条件判断： $f'(x_0)=0,f''(x_0)<0,\Rightarrow f(x_0)是极大点$
根据已证条件 $f'(e)=0,f''(e)<0,\Rightarrow f(e)$是极大点，因为只有这一个极值点，所以 $f(e)$就是最大点

最大点： $f(e)=2>0$

3.关注两侧
$f(0+0)=-\infty$

$\underset{x \to + \infty}{\lim} f(x) = -\infty$

$\therefore f(x)有2个零点 \Rightarrow 2个根$