蒟蒻的ACM数据结构(七)-st表

蒟蒻的ACM数据结构-st表

引例
定义
完整代码
二维st表
约束RMQ
练习题目

引例

洛谷P3865
$RMQ$ 的中文翻译为:静态区间最值查询.~~英文我不知道所以不写~~给你 $n$ 个数, $m$ 次查询,查询的内容为区间[l,r]中的最大值.
$RMQ$ 有解法蛮多的,st表,线段树,树状数组,划分树都可以做.
$st$ 表的复杂度为预处理 $O(n*\log_2 n)$ +查询 $O(m)$
而线段树则需要预处理 $O(n*\log_2 n)$ +查询 $O(m*\log_2 n)$
~~树状数组没学,不清楚~~
线段树可以看我之前的博客.

定义

这个算法就是基于 $DP$ 和位运算符，我们用 $dp[i][j]$ 表示从第 $i$ 位开始，到第 $i + 2^j -1$ 位的最大值或者最小值。

那么我求 $dp[i][j]$ 的时候可以把它分成两部分，第一部分从 $i$ 到 $i + 2 ^{(j-1)} - 1$ ，第二部分从 $i + 2 ^{(j-1)}$ 到 $i + 2^j- 1$ ,那么可以得到
$dp[i][j]=max(dp[i][j-1],dp[i+(1<<(j-1))][j-1])$
当 $j=0$ 时,求的是长度为1的区间的最小值,
$j=1$ 时,求的是长度为2的区间最小值
$j=2$ 时,求的是长度为4的区间最小值
以此类推,故可在 $O(n\log_2 n)$ 的复杂度处理完.
如图所示

查询的话,只需要反过来就阔以了.

完整代码

这里mm[i] = mm[i - 1] +((i&(i - 1)) == 0);只有在这里预处理后,才能真正做到查询 $O(1)$ .

const int MAXN = 1e5 + 10;

int dp[MAXN][31],a[MAXN],mm[MAXN];

void initRMQ(int n)
{
	mm[0] = -1;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		mm[i] = mm[i - 1] +((i&(i - 1)) == 0);
		dp[i][0] = a[i];
	}
	for (int j = 1; j <= mm[n]; j++)
		for (int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; i++)
			dp[i][j] = max(dp[i][j - 1], dp[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
}

int rmq(int x, int y)
{
	int k = mm[y - x + 1];
	return max(dp[x][k], dp[y - (1 << k) + 1][k]);
}

int main()
{
	int n,m;
	cin >> n >> m;//scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		cin >> a[i];

	initRMQ(n);

	while (m--) {
		int x, y;
		cin >> x >> y;
		cout << rmq(x, y) << '\n';
	}
	return 0;
}